х2-2х<_0
Для решения неравенства \( x^2 - 2x \leq 0 \) начнем с его анализа.
Шаг 1: Приведение неравенства к стандартному виду
Неравенство записано в виде, который можно разложить на множители. Для этого сначала найдем корни соответствующего уравнения:
Шаг 2: Находим корни уравнения
Решим уравнение: \[ x^2 - 2x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ x(x - 2) = 0 \] Таким образом, корни этого уравнения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 2 = 0 \implies x = 2 \]
Шаг 3: Анализ знака
Теперь у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Эти значения разделяют числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Теперь проверим знаки выражения \( x^2 - 2x \) на каждом из этих интервалов.
Шаг 4: Тестирование интервалов
Интервал \( (-\infty, 0) \): Выберем \( x = -1 \): \[ (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 > 0 \]
Интервал \( (0, 2) \): Выберем \( x = 1 \): \[ (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 < 0 \]
Интервал \( (2, +\infty) \): Выберем \( x = 3 \): \[ (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 > 0 \]
Шаг 5: Итоговая оценка
Теперь, зная знаки на каждом из интервалов, можем записать:
- На интервале \( (-\infty, 0) \): значение больше нуля.
- На интервале \( (0, 2) \): значение меньше или равно нулю (включая 0).
- На интервале \( (2, +\infty) \): значение больше нуля.
Шаг 6: Записываем ответ
Неравенство \( x^2 - 2x \leq 0 \) выполняется в интервале \( [0, 2] \).
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in [0, 2] \]
Ответ
Ответ: \( [0, 2] \) — это все значения \( x \), удовлетворяющие неравенству \( x^2 - 2x \leq 0 \).
