1.((3X+5)*sinX)' 2. ((1-6X)*tgX)' 3. ((4X⁸-6x+12)' 4.(47^X*tgX)' 5. (log5(X)*10^X)' 6. ((5X+1)*arcsinX)' 7. (√X *sinX)' 8. ((10X-1)*ctgX)'

Хорошо, давайте разберем каждую из этих задач по очереди, предоставляя подробные объяснения. ### 1. Производная функции \(y = (3X + 5) \cdot \sin(X)\) Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом произведения: \[ (fg)' = f'g + fg' \] где \(f = 3X + 5\) и \(g = \sin(X)\). 1. Найдем производные \(f'\) и \(g'\): - \( f' = 3 \) - \( g' = \cos(X) \) 2. Применим правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = 3 \sin(X) + (3X + 5) \cos(X) \] Итак, окончательный ответ: \[ (3X + 5) \cdot \sin(X)' = 3 \sin(X) + (3X + 5) \cos(X) \] ### 2. Производная функции \(y = (1 - 6X) \cdot \tan(X)\) Снова используем правило произведения: 1. Найдем \(f' = -6\), \(g' = \sec^2(X)\). 2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = (-6) \tan(X) + (1 - 6X)\sec^2(X) \] Итак, окончательный ответ: \[ (1 - 6X) \cdot \tan(X)' = -6 \tan(X) + (1 - 6X) \sec^2(X) \] ### 3. Производная функции \(y = 4X^8 - 6X + 12\) Мы будем использовать стандартное правило нахождения производной: \[ y' = n \cdot aX^{n-1} \] где \(n\) — степень \(aX^n\). 1. Для \(4X^8\) производная будет \(32X^7\). 2. Для \(-6X\) производная будет \(-6\). 3. Для константы \(12\) производная равна \(0\). Таким образом: \[ y' = 32X^7 - 6 \] ### 4. Производная функции \(y = 47^X \cdot \tan(X)\) Здесь нужно использовать и правило произведения, и производную экспоненты: 1. Найдем \(f' = 47^X \ln(47)\) и \(g' = \sec^2(X)\). 2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = 47^X \ln(47) \tan(X) + 47^X \sec^2(X) \] При этом можно вынести \(47^X\): \[ y' = 47^X \left(\ln(47) \tan(X) + \sec^2(X)\right) \] ### 5. Производная функции \(y = \log_5(X) \cdot 10^X\) Используем правило произведения: 1. \(f' = \frac{1}{X \ln(5)}\) и \(g' = 10^X \ln(10)\). 2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = \frac{1}{X \ln(5)} \cdot 10^X + \log_5(X) \cdot 10^X \ln(10) \] ### 6. Производная функции \(y = (5X + 1) \cdot \arcsin(X)\) Снова используем правило произведения: 1. \(f' = 5\) и \(g' = \frac{1}{\sqrt{1 - X^2}}\). 2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = 5 \arcsin(X) + (5X + 1)\frac{1}{\sqrt{1 - X^2}} \] ### 7. Производная функции \(y = \sqrt{X} \cdot \sin(X)\) Правило произведения: 1. \(f' = \frac{1}{2\sqrt{X}}\) и \(g' = \cos(X)\). 2. Применяем: \[ y' = f'g + fg' = \frac{1}{2\sqrt{X}} \sin(X) + \sqrt{X} \cos(X) \] ### 8. Производная функции \(y = (10X - 1) \cdot \cot(X)\) Правило произведения: 1. \(f' = 10\) и \(g' = -\csc^2(X)\). 2. Применяем: \[ y' = f'g + fg' = 10 \cot(X) + (10X - 1)(-\csc^2(X)) \] Это все производные для указанных функций. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!