1.((3X+5)*sinX)' 2. ((1-6X)*tgX)' 3. ((4X⁸-6x+12)' 4.(47^X*tgX)' 5. (log5(X)*10^X)' 6. ((5X+1)*arcsinX)' 7. (√X *sinX)' 8. ((10X-1)*ctgX)'

Хорошо, давайте разберем каждую из этих задач по очереди, предоставляя подробные объяснения.

1. Производная функции \(y = (3X + 5) \cdot \sin(X)\)

Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом произведения:

\[ (fg)' = f'g + fg' \]

где \(f = 3X + 5\) и \(g = \sin(X)\).

1. Найдем производные \(f'\) и \(g'\):

   • \( f' = 3 \)
   • \( g' = \cos(X) \)

2. Применим правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = 3 \sin(X) + (3X + 5) \cos(X) \]

Итак, окончательный ответ: \[ (3X + 5) \cdot \sin(X)' = 3 \sin(X) + (3X + 5) \cos(X) \]

2. Производная функции \(y = (1 - 6X) \cdot \tan(X)\)

Снова используем правило произведения:

1. Найдем \(f' = -6\), \(g' = \sec^2(X)\).

2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = (-6) \tan(X) + (1 - 6X)\sec^2(X) \]

Итак, окончательный ответ: \[ (1 - 6X) \cdot \tan(X)' = -6 \tan(X) + (1 - 6X) \sec^2(X) \]

3. Производная функции \(y = 4X^8 - 6X + 12\)

Мы будем использовать стандартное правило нахождения производной:

\[ y' = n \cdot aX^{n-1} \]

где \(n\) — степень \(aX^n\).

1. Для \(4X^8\) производная будет \(32X^7\).
2. Для \(-6X\) производная будет \(-6\).
3. Для константы \(12\) производная равна \(0\).

Таким образом: \[ y' = 32X^7 - 6 \]

4. Производная функции \(y = 47^X \cdot \tan(X)\)

Здесь нужно использовать и правило произведения, и производную экспоненты:

1. Найдем \(f' = 47^X \ln(47)\) и \(g' = \sec^2(X)\).

2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = 47^X \ln(47) \tan(X) + 47^X \sec^2(X) \]

При этом можно вынести \(47^X\): \[ y' = 47^X \left(\ln(47) \tan(X) + \sec^2(X)\right) \]

5. Производная функции \(y = \log_5(X) \cdot 10^X\)

Используем правило произведения:

1. \(f' = \frac{1}{X \ln(5)}\) и \(g' = 10^X \ln(10)\).

2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = \frac{1}{X \ln(5)} \cdot 10^X + \log_5(X) \cdot 10^X \ln(10) \]

6. Производная функции \(y = (5X + 1) \cdot \arcsin(X)\)

Снова используем правило произведения:

1. \(f' = 5\) и \(g' = \frac{1}{\sqrt{1 - X^2}}\).

2. Применяем правило произведения: \[ y' = f'g + fg' = 5 \arcsin(X) + (5X + 1)\frac{1}{\sqrt{1 - X^2}} \]

7. Производная функции \(y = \sqrt{X} \cdot \sin(X)\)

Правило произведения:

1. \(f' = \frac{1}{2\sqrt{X}}\) и \(g' = \cos(X)\).

2. Применяем: \[ y' = f'g + fg' = \frac{1}{2\sqrt{X}} \sin(X) + \sqrt{X} \cos(X) \]

8. Производная функции \(y = (10X - 1) \cdot \cot(X)\)

Правило произведения:

1. \(f' = 10\) и \(g' = -\csc^2(X)\).

2. Применяем: \[ y' = f'g + fg' = 10 \cot(X) + (10X - 1)(-\csc^2(X)) \]

Это все производные для указанных функций. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!