Реши неравенство: модуль(x/10-1/5)>=модуль(x/4-1/2)

Давайте решим неравенство: \[ | \frac{x}{10} - \frac{1}{5} | \geq | \frac{x}{4} - \frac{1}{2} | \] ### Шаг 1: Упрощение модуля Сначала упростим выражения внутри модулей. 1. Перепишем \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{1}{2} \) с одинаковым знаменателем: - \( \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \) - \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \) Теперь неравенство выглядит так: \[ | \frac{x}{10} - \frac{2}{10} | \geq | \frac{x}{4} - \frac{5}{10} | \] ### Шаг 2: Упростим далее Неравенство теперь можно записать как: \[ | \frac{x - 2}{10} | \geq | \frac{x - 5}{4} | \] ### Шаг 3: Рассмотрим значение модуля Модуль \( |a| \) определяет два случая: \( a \geq 0 \) и \( a < 0 \). Таким образом, мы можем рассмотреть два случая для каждого модуля. #### Случай 1: \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \) Это дает: 1. \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \) 2. \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 5 \) Так как \( x \geq 5 \), тогда: \(| \frac{x - 2}{10} | = \frac{x - 2}{10}\) и \(| \frac{x - 5}{4} | = \frac{x - 5}{4}\) Неравенство: \[ \frac{x - 2}{10} \geq \frac{x - 5}{4} \] Умножим обе стороны на 40 (положительное число, не изменит знак неравенства): \[ 4(x - 2) \geq 10(x - 5) \] Упрощаем: \[ 4x - 8 \geq 10x - 50 \] \[ -8 + 50 \geq 10x - 4x \] \[ 42 \geq 6x \] \[ x \leq 7 \] Таким образом, в этом случае мы имеем: \[ 5 \leq x \leq 7 \] #### Случай 2: \( \frac{x - 2}{10} < 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \) В этом случае: 1. \( \frac{x - 2}{10} < 0 \) ⇒ \( x < 2 \) 2. \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 5 \) Этот случай невозможен, так как \( x < 2 \) и \( x \geq 5 \) не пересекаются. #### Случай 3: \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} < 0 \) 1. \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \) 2. \( \frac{x - 5}{4} < 0 \) ⇒ \( x < 5 \) Так как \( 2 \leq x < 5 \), неравенство становится: \[ \frac{x - 2}{10} \geq -\frac{x - 5}{4} \] Умножаем обе стороны на 40: \[ 4(x - 2) \geq -10(x - 5) \] \[ 4x - 8 \geq -10x + 50 \] \[ 4x + 10x \geq 50 + 8 \] \[ 14x \geq 58 \] \[ x \geq \frac{58}{14} \approx 4.14 \] Таким образом, в этом случае: \[ 4.14 \leq x < 5 \] #### Случай 4: \( \frac{x - 2}{10} < 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} < 0 \) 1. \( x < 2 \) 2. \( x < 5 \) Это просто означает \( x < 2 \). ### Шаг 4: Объединение всех случаев У нас есть три случая: 1. \( 5 \leq x \leq 7 \) 2. \( 4.14 \leq x < 5 \) 3. \( x < 2 \) Объединяя все эти решения, мы получаем: \[ x < 2 \quad \text{или} \quad 4.14 \leq x \leq 7 \] ### Ответ Неравенство выполняется для: \[ x < 2 \quad \text{или} \quad 4.14 \leq x \leq 7 \]