Реши неравенство: модуль(x/10-1/5)>=модуль(x/4-1/2)

Давайте решим неравенство:

\[ | \frac{x}{10} - \frac{1}{5} | \geq | \frac{x}{4} - \frac{1}{2} | \]

Шаг 1: Упрощение модуля

Сначала упростим выражения внутри модулей.

1. Перепишем \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{1}{2} \) с одинаковым знаменателем:
   • \( \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \)
   • \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \)

Теперь неравенство выглядит так:

\[ | \frac{x}{10} - \frac{2}{10} | \geq | \frac{x}{4} - \frac{5}{10} | \]

Шаг 2: Упростим далее

Неравенство теперь можно записать как:

\[ | \frac{x - 2}{10} | \geq | \frac{x - 5}{4} | \]

Шаг 3: Рассмотрим значение модуля

Модуль \( |a| \) определяет два случая: \( a \geq 0 \) и \( a < 0 \). Таким образом, мы можем рассмотреть два случая для каждого модуля.

Случай 1: \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \)

Это дает:

1. \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \)
2. \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 5 \)

Так как \( x \geq 5 \), тогда: \(| \frac{x - 2}{10} | = \frac{x - 2}{10}\) и \(| \frac{x - 5}{4} | = \frac{x - 5}{4}\)

Неравенство:

\[ \frac{x - 2}{10} \geq \frac{x - 5}{4} \]

Умножим обе стороны на 40 (положительное число, не изменит знак неравенства):

\[ 4(x - 2) \geq 10(x - 5) \]

Упрощаем:

\[ 4x - 8 \geq 10x - 50 \] \[ -8 + 50 \geq 10x - 4x \] \[ 42 \geq 6x \] \[ x \leq 7 \]

Таким образом, в этом случае мы имеем:

\[ 5 \leq x \leq 7 \]

Случай 2: \( \frac{x - 2}{10} < 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \)

В этом случае:

1. \( \frac{x - 2}{10} < 0 \) ⇒ \( x < 2 \)
2. \( \frac{x - 5}{4} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 5 \)

Этот случай невозможен, так как \( x < 2 \) и \( x \geq 5 \) не пересекаются.

Случай 3: \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} < 0 \)

1. \( \frac{x - 2}{10} \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \)
2. \( \frac{x - 5}{4} < 0 \) ⇒ \( x < 5 \)

Так как \( 2 \leq x < 5 \), неравенство становится:

\[ \frac{x - 2}{10} \geq -\frac{x - 5}{4} \]

Умножаем обе стороны на 40:

\[ 4(x - 2) \geq -10(x - 5) \] \[ 4x - 8 \geq -10x + 50 \] \[ 4x + 10x \geq 50 + 8 \] \[ 14x \geq 58 \] \[ x \geq \frac{58}{14} \approx 4.14 \]

Таким образом, в этом случае:

\[ 4.14 \leq x < 5 \]

Случай 4: \( \frac{x - 2}{10} < 0 \) и \( \frac{x - 5}{4} < 0 \)

1. \( x < 2 \)
2. \( x < 5 \)

Это просто означает \( x < 2 \).

Шаг 4: Объединение всех случаев

У нас есть три случая:

1. \( 5 \leq x \leq 7 \)
2. \( 4.14 \leq x < 5 \)
3. \( x < 2 \)

Объединяя все эти решения, мы получаем:

\[ x < 2 \quad \text{или} \quad 4.14 \leq x \leq 7 \]

Ответ

Неравенство выполняется для:

\[ x < 2 \quad \text{или} \quad 4.14 \leq x \leq 7 \]