Найди сумму первых девяти членов арифметической прогрессии (an), если a1 = 2, d = 3. Найди сумму семидесяти трёх членов арифметической прогрессии (an), если а1 = 278, d = - 9…

Давайте решим каждую из задач по очереди.

1. Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии (an), если \(a_1 = 2\), \(d = 3\).

   Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Где \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\).

   Сначала найдем \(a_9\): \[ a_9 = a_1 + (9 - 1) \cdot d = 2 + 8 \cdot 3 = 2 + 24 = 26 \] Теперь вычислим сумму: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (2 + 26) = \frac{9}{2} \cdot 28 = 9 \cdot 14 = 126 \]

   Ответ: 126

2. Сумма семидесяти трёх членов арифметической прогрессии (an), если \(a_1 = 278\), \(d = -9\).

   Находим \(a_{73}\): \[ a_{73} = a_1 + (73 - 1) \cdot d = 278 + 72 \cdot (-9) = 278 - 648 = -370 \] Теперь вычислим сумму: \[ S_{73} = \frac{73}{2} \cdot (278 + (-370)) = \frac{73}{2} \cdot (-92) = 73 \cdot (-46) = -3358 \]

   Ответ: -3358

3. Сумма всех натуральных чисел меньше 115.

   Используем формулу для суммы первых \(n\) натуральных чисел: \[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \] Здесь \(n = 114\) (числа меньше 115): \[ S_{114} = \frac{114 \cdot 115}{2} = 57 \cdot 115 = 6555 \]

   Ответ: 6555

4. Сумма всех чётных натуральных чисел меньше 99.

   Чётные числа меньше 99: \(2, 4, 6, \ldots, 98\). Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где \(a_1 = 2\), \(d = 2\), и \(a_n = 98\).

   Найдем количество членов \(n\): \[ a_n = a_1 + (n-1)d \implies 98 = 2 + (n-1) \cdot 2 \implies 96 = (n-1) \cdot 2 \implies n - 1 = 48 \implies n = 49 \] Теперь найдем сумму: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{49}{2} \cdot (2 + 98) = \frac{49}{2} \cdot 100 = 49 \cdot 50 = 2450 \]

   Ответ: 2450

5. Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, если \(a_{13} = 44\) и \(a_{27} = 128\).

   Для начала находим \(d\): \[ a_{27} - a_{13} = (27 - 13) \cdot d \implies 128 - 44 = 14d \implies 84 = 14d \implies d = 6 \]

   Теперь находим \(a_1\): \[ a_{13} = a_1 + 12d \implies 44 = a_1 + 12 \cdot 6 \implies 44 = a_1 + 72 \implies a_1 = 44 - 72 = -28 \]

   Теперь можем вычислить сумму первых 15 членов: \[ a_{15} = a_1 + 14d = -28 + 14 \cdot 6 = -28 + 84 = 56 \] \[ S_{15} = \frac{15}{2}(a_1 + a_{15}) = \frac{15}{2}(-28 + 56) = \frac{15}{2} \cdot 28 = 15 \cdot 14 = 210 \]

   Ответ: 210

Таким образом, ответы на все задачи:

1. 126
2. -3358
3. 6555
4. 2450
5. 210