Решить графически Корень x²+x-2=корень x²-4x+3
Для решения уравнения графически, сначала преобразуем данное уравнение:
\[ \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \]
Квадрат обеих сторон: Для удаления корней мы можем возвести обе стороны в квадрат. Но перед этим необходимо учесть, что это может добавить лишние корни в уравнение.
В результате, мы получим: \[ x^2 + x - 2 = x^2 - 4x + 3 \]Упростим уравнение: Переносим все члены на одну сторону: \[ x^2 + x - 2 - x^2 + 4x - 3 = 0 \] \[ 5x - 5 = 0 \]
Решим это уравнение: \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \]
Проверка: Подставим \( x = 1 \) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что это решение действительно gült:
- Подставляем в левую часть: \[ \sqrt{1^2 + 1 - 2} = \sqrt{1 + 1 - 2} = \sqrt{0} = 0 \]
- Подставляем в правую часть: \[ \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 + 3} = \sqrt{1 - 4 + 3} = \sqrt{0} = 0 \]
Обе стороны равны, значит \( x = 1 \) — это верное решение.
Теперь мы можем также посмотреть на графики функций \( y_1 = \sqrt{x^2 + x - 2} \) и \( y_2 = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \).
Построение графиков:
Для функции \( y_1 = \sqrt{x^2 + x - 2} \): Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \). Используя формулу корней, находим: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \] Это значит, что график пересекает ось х в точках -2 и 1.
Для функции \( y_2 = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \): Найдем корни \( x^2 - 4x + 3 = 0 \): \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{2} = \{3, 1\} \]
Окончательные графики и решение:
- Теперь для графического решения можно построить обе функции, которые мы нашли, и увидеть их пересечение. Мы уже нашли, что обе функции равны, когда \( x = 1 \).
Таким образом, окончательное решение:
\[
x = 1
\]
Графически, это точка пересечения двух кривых. Вывод: единственным решением уравнения является \( x = 1 \).
