Постройте график функции и опишите ее свойства y=x2+2x-15

Чтобы построить график функции \( y = x^2 + 2x - 15 \) и описать ее свойства, следуем пошагово.

Шаг 1: Преобразование функции

Давайте сначала упростим функцию. Мы можем использовать метод выделения полного квадрата или просто определим ее основные параметры.

Шаг 2: Определение ключевых характеристик

Функция \( y = x^2 + 2x - 15 \) — это квадратичная функция вида \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \) (положительное значение, значит, парабола будет открываться вверх),
• \( b = 2 \),
• \( c = -15 \).

Шаг 3: Нахождение корней функции

Чтобы найти корни (точки пересечения с осью X), используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] Таким образом, корни функции: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -5 \).

Шаг 4: Нахождение вершины параболы

Вершина параболы, которая соответствует минимальному значению функции, находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] Теперь подставим \( x_v \) в уравнение для нахождения \( y_v \): \[ y_v = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16 \] Таким образом, вершина параболы: \( (-1, -16) \).

Шаг 5: Построение графика

1. Построим оси координат.
2. Наносим корни \( (-5, 0) \) и \( (3, 0) \).
3. Наносим вершину \( (-1, -16) \).
4. Так как парабола открывается вверх, она будет иметь минимальное значение в вершине и подниматься в обе стороны от нее.

Шаг 6: Свойства функции

1. Корни: Функция пересекает ось X в точках \( -5 \) и \( 3 \).
2. Вершина: Минимальное значение функции — это точка \( (-1, -16) \).
3. Направление: Парабола открывается вверх.
4. Симметрия: Парабола симметрична относительно вертикальной прямой \( x = -1 \).
5. Область значений: Значение \( y \) может принимать значения от \(-16\) до \(+\infty\) (то есть, область значений \( y \geq -16 \)).

Шаг 7: Заключение

Теперь у вас есть полный анализ функции \( y = x^2 + 2x - 15 \), включая информацию о корнях, вершине и свойствах графика. Вы можете построить график, используя данную информацию, и он должен выглядеть как парабола, открывающаяся вверх, с вершиной в точке \((-1, -16)\) и пересечениями по оси X в точках \(-5\) и \(3\).