Вычисли сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, если b 1 = 12 b 1 =12 , b 3 = 192 b 3 =192
Чтобы вычислить сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, нам сначала нужно определить общий множитель и все четыре члена прогрессии.
Определяем члены прогрессии:
- Стандартная форма геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \] где \( b_1 \) — первый член, \( r \) — общий множитель ( Ratio ), \( n \) — номер члена прогрессии.
Из условия задачи:
- \( b_1 = 12 \)
- \( b_3 = 192 \)
Подставим \( n = 3 \) в формулу: \[ b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = 12 \cdot r^2 \] И у нас есть: \[ 12 \cdot r^2 = 192 \]
Решаем уравнение для \( r \): \[ r^2 = \frac{192}{12} = 16 \] \[ r = \sqrt{16} = 4 \]
(Мы берем положительное значение, так как в геометрической прогрессии обычно рассматриваются положительные последовательности.)
Находим остальные члены прогрессии: Теперь, зная \( b_1 \) и \( r \), можем найти \( b_2 \) и \( b_4 \).
Второй член: \[ b_2 = b_1 \cdot r = 12 \cdot 4 = 48 \]
Четвёртый член: \[ b_4 = b_1 \cdot r^3 = 12 \cdot 4^3 = 12 \cdot 64 = 768 \]
Считаем сумму первых четырёх членов прогрессии: Теперь, когда у нас есть все четыре члена:
- \( b_1 = 12 \)
- \( b_2 = 48 \)
- \( b_3 = 192 \)
- \( b_4 = 768 \)
Сумма: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 12 + 48 + 192 + 768 \] \[ S_4 = 12 + 48 = 60 \] \[ S_4 = 60 + 192 = 252 \] \[ S_4 = 252 + 768 = 1020 \]
Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 1020.
