Для данной задачи нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, имея гипотенузу и синус одного из острых углов.
Дано:
- Гипотенуза ( c = 34 )
- (\sin A = \frac{8}{17}), где (A) — один из острых углов.
Шаг 1: Найдите длину одного из катетов.
Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
[
\sin A = \frac{a}{c}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{8}{17} = \frac{a}{34}
]
Находим ( a ):
[
a = \frac{8}{17} \times 34 = \frac{272}{17} = 16
]
Шаг 2: Найдите длину второго катета ( b ) с использованием теоремы Пифагора.
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставляем известные значения:
[
16^2 + b^2 = 34^2
]
[
256 + b^2 = 1156
]
[
b^2 = 1156 - 256 = 900
]
[
b = \sqrt{900} = 30
]
Шаг 3: Найдите площадь треугольника.
Формула для площади прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставляем найденные значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 16 \times 30 = 240
]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 240.
