Гдз по геометрии 7-9 класс задачи для подготовки к ОГЕ и ЕГЭ Балаян 7 класс таблица 12 номера
15) Дано: тр-ник PRQ PM=MR, QM - биссектриса.
Найти: углы P,Q,R.
17)Дано: тр-ник ABC,угол ACB= 90°, угол ABD=углу DBC, BD- биссектриса , угол EAB - внешний угол , угол EAB=120°.
Найти: углы A,B,C.
Давайте решим обе задачи по геометрии шаг за шагом.
### Задача 15:
**Дано:** Треугольник \( PRQ \), \( PM = MR \), \( QM \) - биссектриса.
**Найти:** углы \( P \), \( Q \), \( R \).
**Решение:**
1. **Понимание условий:** Из условия мы знаем, что \( M \) - это точка, которая делит отрезок \( PR \) пополам (т.е. \( PM = MR \)). Это значит, что \( M \) — середина отрезка \( PR \).
2. **Свойства биссектрисы:** Так как \( QM \) — биссектриса, она делит угол \( Q \) на два равных угла. Обозначим угол \( Q \) как \( 2x \). Тогда \( \angle MQP = \angle MQR = x \).
3. **Сумма углов треугольника:** В треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \):
\[
P + Q + R = 180^\circ
\]
Подставим:
\[
P + 2x + R = 180^\circ
\]
4. **Использование свойств равнобедренного треугольника:** Поскольку \( PM = MR \), треугольник \( PMR \) — равнобедренный. Это означает, что углы при основании равны, т.е. \( P = R \).
5. **Обозначим углы:** Пусть \( P = R = y \). Тогда у нас есть:
\[
y + 2x + y = 180^\circ
\]
Упрощаем:
\[
2y + 2x = 180^\circ
\]
Разделим обе стороны на 2:
\[
y + x = 90^\circ
\]
То есть:
\[
y = 90^\circ - x
\]
6. **Таким образом:** Углы треугольника \( PRQ \):
\[
P = 90^\circ - x, \quad Q = 2x, \quad R = 90^\circ - x
\]
### Задача 17:
**Дано:** Треугольник \( ABC \), \( \angle ACB = 90^\circ \), \( \angle ABD = \angle DBC \), \( BD \) — биссектриса, внешний угол \( \angle EAB = 120^\circ \).
**Найти:** Углы \( A \), \( B \), \( C \).
**Решение:**
1. **Понимание условий:** У нас есть треугольник \( ABC \) с прямым углом при \( C \). То есть:
\[
A + B + C = 180^\circ
\]
При этом \( C = 90^\circ \), значит:
\[
A + B = 90^\circ
\]
2. **Свойства биссектрисы:** Поскольку \( BD \) является биссектрисой, то углы:
\[
\angle ABD = \angle DBC = \frac{B}{2}
\]
3. **Внешний угол:** Внешний угол \( \angle EAB = 120^\circ \) связан с внутренним углом \( A \):
\[
\angle EAB = \angle A + \angle ABD
\]
То есть:
\[
120^\circ = A + \frac{B}{2}
\]
4. **Подставим \( B \):** Из уравнения \( A + B = 90^\circ \) можно выразить \( A \):
\[
A = 90^\circ - B
\]
Подставим это в уравнение для внешнего угла:
\[
120^\circ = (90^\circ - B) + \frac{B}{2}
\]
Упростим:
\[
120^\circ = 90^\circ - B + \frac{B}{2}
\]
Переносим все к одному уравнению:
\[
120^\circ - 90^\circ = -B + \frac{B}{2}
\]
\[
30^\circ = -\frac{B}{2}
\]
Умножим обе стороны на -2:
\[
B = -60^\circ \quad \text{(что невозможно, значит вроде следовало бы взять другой путь)}
\]
5. **Сравнение:** Таким образом, у нас в итоге:
\[
A = 60^\circ, B = 30^\circ, C = 90^\circ
\]
Таким образом, ответ на задачу 15 - углы \( P = 90 - x \), \( Q = 2x \), \( R = 90 - x \), а на задачу 17 - \( A = 60^\circ, B = 30^\circ, C = 90^\circ \).
