Основания прямоугольной трапеции равны 5 5 и 13 13 . Угол между боковой стороной и одним из оснований равен 13 5 ∘ 135 ∘ . Найди площадь трапеции.
Для нахождения площади прямоугольной трапеции можно воспользоваться следующей формулой:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где:
- \(a\) и \(b\) — длины оснований,
- \(h\) — высота трапеции.
В данной задаче:
- Длина одного основания \(a = 5\),
- Длина другого основания \(b = 13\),
- Угол между боковой стороной и основанием равен \(135^\circ\).
Так как у нас угол между боковой стороной и одним из оснований составляет \(135^\circ\), мы понимаем, что это означает, что высота будет находиться на другой стороне, создавая угол в \(45^\circ\) (поскольку \(135^\circ + 45^\circ = 180^\circ\)).
Шаги для решения:
Найти высоту трапеции: Для этого можем воспользоваться тригонометрией. У нас есть углы и одна из сторон. Сначала найдём длину боковой стороны, используя сигнусы и косинусы.
Поскольку угол составлен 135° с основанием, будем использовать синус для нахождения высоты: \[ h = d \cdot \sin(135^\circ) = d \cdot \sin(45^\circ) = d \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] где \(d\) — длина боковой стороны.
Нам необходимо найти \(d\) - длину боковой стороны, для этого применим косинус: \[ d \cdot \cos(135^\circ) = 5 \] где \( \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) \[ d \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 5 \Rightarrow d = -5 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \]
Теперь мы можем найти высоту: \[ h = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \]
Поиск площади: Теперь, когда мы знаем высоту, можем подставить значения оснований и высоты в формулу для определения площади: \[ S = \frac{(5 + 13) \cdot 5}{2} \] \[ S = \frac{18 \cdot 5}{2} = \frac{90}{2} = 45 \]
Ответ:
Площадь трапеции равна \(45\) квадратных единиц.
