дано: cos=8/17, 0<B<90° найдите: sin B, tgB, ctgB
Чтобы найти значения синуса, тангенса и котангенса угла \( B \), нам известно значение косинуса этого угла. Давайте разберемся шаг за шагом.
Дано: \[ \cos B = \frac{8}{17} \] и \( 0 < B < 90° \).
Шаг 1: Нахождение синуса угла \( B \)
Используем тригонометрическую теорему Пифагора, которая гласит, что для любого угла \( B \) выполняется равенство: \[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \]
Подставим известное значение косинуса: \[ \sin^2 B + \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 \]
Вычислим \(\left(\frac{8}{17}\right)^2\): \[ \left(\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{64}{289} \]
Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \sin^2 B + \frac{64}{289} = 1 \]
Вычтем \(\frac{64}{289}\) с обеих сторон: \[ \sin^2 B = 1 - \frac{64}{289} \]
Чтобы вычитать дроби, приведем 1 (или \(\frac{289}{289}\)) к общему знаменателю: \[ 1 = \frac{289}{289} \]
Теперь можем вычесть: \[ \sin^2 B = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} \]
Теперь найдем \(\sin B\), взяв квадратный корень: \[ \sin B = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \]
Поскольку \( 0 < B < 90° \), \(\sin B\) будет положительным.
Шаг 2: Нахождение тангенса угла \( B \)
Тангенс угла \( B \) определяется как отношение синуса к косинусу: \[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} \]
Подставим наши значения: \[ \tan B = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = \frac{15}{8} \]
Шаг 3: Нахождение котангенса угла \( B \)
Котангенс угла \( B \) — это обратное значение тангенса: \[ \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\frac{15}{8}} = \frac{8}{15} \]
Итоговые результаты
Теперь у нас есть все три искомых значения:
- \(\sin B = \frac{15}{17}\)
- \(\tan B = \frac{15}{8}\)
- \(\cot B = \frac{8}{15}\)
Если у вас есть еще вопросы по тригонометрии или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
