Первая чайная смесь состоит из листьев чёрного чая и фруктовых добавок в соотношении 5 : 4 5:4 , а вторая содержит те же ингредиенты в соотношении 7 : 3 7:3 . В каком соотношении…

Для решения задачи о смешивании чайных смесей с различными соотношениями, давайте обозначим основные элементы и этапы, которые нам необходимо решить.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть \( x \) — количество первой смеси (5:4), и \( y \) — количество второй смеси (7:3), которое мы будем смешивать, чтобы получить третью смесь (2:1).

2. Определим состав каждой смеси:

   • В первой смеси (5:4), листья черного чая составляют 5 частей, а фруктовые добавки — 4 части. Общие части: \( 5 + 4 = 9 \).

     • Доля чая в первой смеси: \( \frac{5}{9} \)
     • Доля фруктов в первой смеси: \( \frac{4}{9} \)

   • Во второй смеси (7:3), листья черного чая составляют 7 частей, а фруктовые добавки — 3 части. Общие части: \( 7 + 3 = 10 \).

     • Доля чая во второй смеси: \( \frac{7}{10} \)
     • Доля фруктов во второй смеси: \( \frac{3}{10} \)

3. Состав третьей смеси:

   • Третья смесь (2:1) состоит из 2 частей чая и 1 части фруктов, всего 3 части.
     • Доля чая в третьей смеси: \( \frac{2}{3} \)
     • Доля фруктов в третьей смеси: \( \frac{1}{3} \)

4. Составим уравнения для смешивания:

   • Доля чая от смеси: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = \frac{2}{3}(x + y) \]
   • Доля фруктов от смеси: \[ \frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{1}{3}(x + y) \]

5. Упростим уравнения:

   Начнем с первого уравнения: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = \frac{2}{3}(x + y) \] Перемножим обе стороны на 90, чтобы избавиться от дробей: \[ 50x + 63y = 60(x + y) \] Упрощаем: \[ 50x + 63y = 60x + 60y \] Перегруппируем: \[ 63y - 60y = 60x - 50x \] \[ 3y = 10x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{10}{3}x \tag{1} \]

   Теперь для второго уравнения: \[ \frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{1}{3}(x + y) \] Перемножим обе стороны на 90: \[ 40x + 27y = 30(x + y) \] Упрощаем: \[ 40x + 27y = 30x + 30y \] Перегруппируем: \[ 40x - 30x = 30y - 27y \] \[ 10x = 3y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{10}{3}x \tag{2} \]

6. Находим соотношение смесей: Из (1) и (2) видно, что оба уравнения равны, что значит, что мы можем использовать \( y = \frac{10}{3}x \).

   Теперь найдем общее соотношение \( x \) и \( y \): \[ \text{Соотношение } x : y = 1 : \frac{10}{3} = 3 : 10 \]

Таким образом, чтобы получить третью смесь в соотношении 2:1, первую и вторую смеси нужно смешать в соотношении 3:10.