Первая чайная смесь состоит из листьев чёрного чая и фруктовых добавок в соотношении 5 : 4 5:4 , а вторая содержит те же ингредиенты в соотношении 7 : 3 7:3 . В каком соотношении нужно взять первую и вторую чайные смеси, чтобы получить третью, содержащую листья чёрного чая и фруктовые добавки в соотношении 2 : 1 2:1 ?

Для решения задачи о смешивании чайных смесей с различными соотношениями, давайте обозначим основные элементы и этапы, которые нам необходимо решить. 1. **Обозначим переменные:** - Пусть \( x \) — количество первой смеси (5:4), и \( y \) — количество второй смеси (7:3), которое мы будем смешивать, чтобы получить третью смесь (2:1). 2. **Определим состав каждой смеси:** - В первой смеси (5:4), листья черного чая составляют 5 частей, а фруктовые добавки — 4 части. Общие части: \( 5 + 4 = 9 \). - Доля чая в первой смеси: \( \frac{5}{9} \) - Доля фруктов в первой смеси: \( \frac{4}{9} \) - Во второй смеси (7:3), листья черного чая составляют 7 частей, а фруктовые добавки — 3 части. Общие части: \( 7 + 3 = 10 \). - Доля чая во второй смеси: \( \frac{7}{10} \) - Доля фруктов во второй смеси: \( \frac{3}{10} \) 3. **Состав третьей смеси:** - Третья смесь (2:1) состоит из 2 частей чая и 1 части фруктов, всего 3 части. - Доля чая в третьей смеси: \( \frac{2}{3} \) - Доля фруктов в третьей смеси: \( \frac{1}{3} \) 4. **Составим уравнения для смешивания:** - Доля чая от смеси: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = \frac{2}{3}(x + y) \] - Доля фруктов от смеси: \[ \frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{1}{3}(x + y) \] 5. **Упростим уравнения:** Начнем с первого уравнения: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = \frac{2}{3}(x + y) \] Перемножим обе стороны на 90, чтобы избавиться от дробей: \[ 50x + 63y = 60(x + y) \] Упрощаем: \[ 50x + 63y = 60x + 60y \] Перегруппируем: \[ 63y - 60y = 60x - 50x \] \[ 3y = 10x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{10}{3}x \tag{1} \] Теперь для второго уравнения: \[ \frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{1}{3}(x + y) \] Перемножим обе стороны на 90: \[ 40x + 27y = 30(x + y) \] Упрощаем: \[ 40x + 27y = 30x + 30y \] Перегруппируем: \[ 40x - 30x = 30y - 27y \] \[ 10x = 3y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{10}{3}x \tag{2} \] 6. **Находим соотношение смесей:** Из (1) и (2) видно, что оба уравнения равны, что значит, что мы можем использовать \( y = \frac{10}{3}x \). Теперь найдем общее соотношение \( x \) и \( y \): \[ \text{Соотношение } x : y = 1 : \frac{10}{3} = 3 : 10 \] Таким образом, **чтобы получить третью смесь в соотношении 2:1, первую и вторую смеси нужно смешать в соотношении 3:10.**