Решить задачу: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если:а) b = 8, ∠B = 45°; б)…

Чтобы решить задачу, используем свойства прямоугольного треугольника. Напомним основные соотношения:

• В прямоугольном треугольнике, если известен один из катетов (в нашем случае \( b \)) и угол (в нашем случае угол \( B \)), то мы можем найти другой катет (обозначим его \( a \)) и гипотенузу (обозначим её \( c \)) с помощью тригонометрических соотношений:
  • \( \tan(B) = \frac{a}{b} \)
  • \( \sin(B) = \frac{b}{c} \)
  • \( \cos(B) = \frac{a}{c} \)

а) \( b = 8 \), \( ∠B = 45° \)

1. Используем значение угла \( B \). Для угла 45°:

   • \( \tan(45°) = 1 \)
   • Это означает, что \( a = b \).

2. Следовательно: \[ a = 8 \]

3. Теперь найдём гипотенузу \( c \): \[ \sin(45°) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(45°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2} \]

Ответ:

• Другой катет \( a = 8 \).
• Гипотенуза \( c = 8\sqrt{2} \).

б) \( b = 12 \), \( ∠B = 60° \)

1. Для угла 60°:

   • \( \tan(60°) = \sqrt{3} \)

2. Используем формулу: \[ \tan(60°) = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan(60°) = 12 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \]

3. Теперь найдём гипотенузу \( c \): \[ \sin(60°) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(60°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \]

Ответ:

• Другой катет \( a = 12\sqrt{3} \).
• Гипотенуза \( c = 8\sqrt{3} \).

в) \( b = 4\sqrt{3} \), \( ∠B = 30° \)

1. Для угла 30°:

   • \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

2. Используем формулу: \[ \tan(30°) = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan(30°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4 \]

3. Теперь найдём гипотенузу \( c \): \[ \sin(30°) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(30°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3} \]

Ответ:

• Другой катет \( a = 4 \).
• Гипотенуза \( c = 8\sqrt{3} \).

Общий вывод

Мы нашли все значения для катетов и гипотензы для каждого случая. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более детальное объяснение, дайте знать!