Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Для решения задачи начнем с различных свойств прямоугольного треугольника и используем тригонометрию. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.
Шаг 1. Обозначим элементы треугольника
- Обозначим гипотенузу, как \( c \).
- Обозначим остальные стороны (катеты) как \( a \) и \( b \), где пусть \( a \) будет меньшим катетом.
Согласно условию задачи, у нас есть следующее уравнение:
\[ c + a = 26,4 \]
Шаг 2. Используем свойства 30-60-90 треугольника
В треугольниках, где один угол равен 60°, соотношения между сторонами следующие:
\[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \]
Таким образом, мы можем выразить катет \( a \) через гипотенузу \( c \):
\[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Шаг 3. Подставим значение \( a \) в уравнение
Теперь подставим выражение для \( a \) в уравнение, которое мы составили из условия задачи:
\[ c + a = 26,4 \]
Подставляем:
\[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4 \]
Шаг 4. Сведем уравнение
Соберем \( c \) в одно:
\[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26,4 \]
Теперь упростим выражение в скобках:
\[ c \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right) = 26,4 \]
Шаг 5. Найдем гипотенузу \( c \)
Теперь решим уравнение относительно \( c \):
\[ c = \frac{26,4 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \]
Шаг 6. Вычисления
Давайте подставим значение:
- Посчитаем числитель:
\[ 26,4 \cdot 2 = 52,8 \]
- Теперь преобразуем выражение:
\[ c = \frac{52,8}{2 + \sqrt{3}} \]
Чтобы выразить это значение удобнее, можем округлить \( \sqrt{3} \) (приблизительно 1,732):
\[ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1,732 \approx 3,732 \]
Поэтому:
\[ c \approx \frac{52,8}{3,732} \approx 14,15 \text{ см (примерно)} \]
Шаг 7. Проверим
Теперь, чтобы убедиться в правильности, подставим обратно:
Рассчитаем составной катет:
\[ a \approx 14,15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 14,15 \cdot 0,866 \approx 12,24 \text{ см (примерно)} \]
Теперь смотрим, что:
\[ c + a = 14,15 + 12,24 \approx 26,39 \text{ см} \]
Окончательный ответ
Гипотенуза треугольника приблизительно равна \( 14,15 \) см. Это значение можно округлить, если требуется, до двух знаков после запятой.
