Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Для решения задачи начнем с различных свойств прямоугольного треугольника и используем тригонометрию. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. ### Шаг 1. Обозначим элементы треугольника 1. Обозначим гипотенузу, как \( c \). 2. Обозначим остальные стороны (катеты) как \( a \) и \( b \), где пусть \( a \) будет меньшим катетом. Согласно условию задачи, у нас есть следующее уравнение: \[ c + a = 26,4 \] ### Шаг 2. Используем свойства 30-60-90 треугольника В треугольниках, где один угол равен 60°, соотношения между сторонами следующие: \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \] Таким образом, мы можем выразить катет \( a \) через гипотенузу \( c \): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] ### Шаг 3. Подставим значение \( a \) в уравнение Теперь подставим выражение для \( a \) в уравнение, которое мы составили из условия задачи: \[ c + a = 26,4 \] Подставляем: \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4 \] ### Шаг 4. Сведем уравнение Соберем \( c \) в одно: \[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26,4 \] Теперь упростим выражение в скобках: \[ c \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right) = 26,4 \] ### Шаг 5. Найдем гипотенузу \( c \) Теперь решим уравнение относительно \( c \): \[ c = \frac{26,4 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \] ### Шаг 6. Вычисления Давайте подставим значение: 1. Посчитаем числитель: \[ 26,4 \cdot 2 = 52,8 \] 2. Теперь преобразуем выражение: \[ c = \frac{52,8}{2 + \sqrt{3}} \] Чтобы выразить это значение удобнее, можем округлить \( \sqrt{3} \) (приблизительно 1,732): \[ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1,732 \approx 3,732 \] Поэтому: \[ c \approx \frac{52,8}{3,732} \approx 14,15 \text{ см (примерно)} \] ### Шаг 7. Проверим Теперь, чтобы убедиться в правильности, подставим обратно: Рассчитаем составной катет: \[ a \approx 14,15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 14,15 \cdot 0,866 \approx 12,24 \text{ см (примерно)} \] Теперь смотрим, что: \[ c + a = 14,15 + 12,24 \approx 26,39 \text{ см} \] ### Окончательный ответ Гипотенуза треугольника приблизительно равна \( 14,15 \) см. Это значение можно округлить, если требуется, до двух знаков после запятой.