В прямоугольнике POST на сторонах РО и ЅT отмечены точки М и N так, что PM:MO = 1/3; SN:NT = 2/5. Найдите отношение площадей четырехугольников РМNТ и MOSN.

Для решения задачи найдем площади четырехугольников \( PMNT \) и \( MOSN \) и определим их отношение.

1. Зададим размеры прямоугольника: Пусть длина \( PO = a \) и ширина \( PS = b \). Тогда координаты вершин \( P, O, S, T \) будут:

   • \( P(0, 0) \)
   • \( O(a, 0) \)
   • \( S(0, b) \)
   • \( T(a, b) \)

2. Поиск координат точек М и N:

   • Для точки \( M \) на стороне \( PO \): по условию \( PM:MO = 1:3 \). Это означает, что \( PM = \frac{1}{4} \) от \( PO \) и \( MO = \frac{3}{4} \) от \( PO \). \[ PM = \frac{1}{4} a \implies M \left(\frac{1}{4} a, 0\right) \]

   • Для точки \( N \) на стороне \( ST \): по условию \( SN:NT = 2:5 \). Это означает, что \( SN = \frac{2}{7} \) от \( ST \) и \( NT = \frac{5}{7} \) от \( ST \). \[ SN = \frac{2}{7} b \implies N \left(0, b - \frac{2}{7} b\right) = N \left(0, \frac{5}{7} b\right) \]

3. Координаты всех точек:

   • \( P(0, 0) \)
   • \( M \left(\frac{1}{4} a, 0\right) \)
   • \( N \left(0, \frac{5}{7} b\right) \)
   • \( S(0, b) \)
   • \( O(a, 0) \)
   • \( T(a, b) \)

4. Найдём площадь четырёхугольника \( PMNT \): Для нахождения площади четырехугольника по координатам вершин можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Подставим координаты точек \( P, M, N, T \):

   • \( P(0, 0) \)
   • \( M\left(\frac{1}{4}a, 0\right) \)
   • \( N\left(0, \frac{5}{7}b\right) \)
   • \( T(a, b) \)

   Подставим в формулу: \[ S_{PMNT} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot 0 + \frac{1}{4}a \cdot \frac{5}{7}b + 0 \cdot b + a \cdot 0 - (0 \cdot \frac{1}{4}a + 0 \cdot 0 + \frac{5}{7}b \cdot a + b \cdot 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{5}{28} ab - \frac{5}{7} ab \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{5}{28} ab - \frac{20}{28} ab \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{15}{28} ab \right| = \frac{15}{56} ab \]

5. Найдём площадь четырёхугольника \( MOSN \): Используем та же формулу для точек \( M, O, S, N \):

   • \( M\left(\frac{1}{4}a, 0\right) \)
   • \( O(a, 0) \)
   • \( S(0, b) \)
   • \( N\left(0, \frac{5}{7}b\right) \)

   Подставим в формулу: \[ S_{MOSN} = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{4}a \cdot 0 + a \cdot b + 0 \cdot \frac{5}{7}b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot a + 0 \cdot 0 + b \cdot 0 + \frac{5}{7}b \cdot \frac{1}{4}a) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + ab + 0 + 0 - \frac{5}{28}ab \right| = \frac{1}{2} \left| ab - \frac{5}{28} ab \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{28}{28} ab - \frac{5}{28} ab \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{23}{28} ab \right| = \frac{23}{56} ab \]

6. Найдем отношение площадей: \[ \frac{S_{PMNT}}{S_{MOSN}} = \frac{\frac{15}{56} ab}{\frac{23}{56} ab} = \frac{15}{23} \]

Таким образом, отношение площадей четырехугольников \( PMNT \) и \( MOSN \) равно \( \frac{15}{23} \).