Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две…

Для решения задачи нам необходимо построить график данной функции и определить, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) будет пересекаться с графиком функции ровно в двух точках.

Шаг 1: Построение графика функции

У нас есть кусочная функция:

1. \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \)
2. \( f(x) = x + 2 \) для \( x < -2 \)

1.1. Построим первую часть: \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \)

Это парабола, которая открывается вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный).

• Находим вершину параболы: Формула находления \(x\) вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) есть: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2} \]

• Находим значение функции в вершине: \[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} + \frac{12}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

Точка вершины: \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)\).

• Находим значения в крайних точках:
  • \( f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \)

Таким образом, в этой части графика мы имеем:

• Точка: \((-2, -1)\)
• Точка: \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)\) — вершина.

1.2. Построим вторую часть: \( f(x) = x + 2 \)

Это прямая, имеющая наклон 1 (угловой коэффициент = 1) и пересекающая ось y в точке (0, 2).

• Находим значение функции при \(x = -2\): \[ f(-2) = -2 + 2 = 0. \]

Таким образом, в этой части графика мы имеем:

• Точка: \((-2, 0)\) и (так как \(x < -2\)) продолжаем её налево с угловым коэффициентом 1.

Шаг 2: Определение значений \(m\) для двух пересечений

Прямая \(y = m\) будет пересекаться с графиком функции в двух точках, если:

1. Прямая пересекает одну из частей графика (либо параболу, либо прямую) и делит её на 2.
2. При этом, прямая не пересекает обе части графика или пересекает одну из частей дважды, а другую — не пересекает.

2.1. Условия для параболы:

Как мы видим, у параболы есть вершина \((-1.5, -1.5)\).

• Для двух пересечений с параболой: \[ m < -\frac{3}{2} \quad (работает до минимального значения) \]

2.2. Условия для прямой:

Прямая \(y = m\) пересекает прямую \(f(x) = x + 2\):

• \[ m = -2 \quad (пересекает в одной точке) \]

Получаем окончательные условия для \(m\):

• Для отрезка, где \(m\) меньше -1.5 (парабола).
• Для отрезка, где \(m\) больше -2 (прямая) будет всегда одна общая точка.

Таким образом, прямая \(y = m\) будет пересекать график ровно в двух точках, если: \[ m = -2. \]

Итог

• Для получения двух пересечений прямая \(y = m\) должна быть ниже минимального значения функции параболы и выше (либо касаться) прямой с наклоном.

Ответ: Прямая \(y = m\) пересекается с графиком функции ровно в 2-х точках при \(m < -2\).