Cos ß = 8/17 0<ß<90 найдите sin ß, tg ß, ctg
Для решения задачи, нам нужно найти значения \( \sin \beta \), \( \tan \beta \) и \( \cot \beta \), зная значение \( \cos \beta = \frac{8}{17} \) и то, что угол \( \beta \) находится в пределах от \( 0 \) до \( 90 \) градусов (в первом квадранте).
- Найдём \( \sin \beta \):
Мы знаем, что для любого угла \( \beta \) выполняется основное тригонометрическое отношение:
\[ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \]
Подставим известное значение \( \cos \beta = \frac{8}{17} \):
\[ \sin^2 \beta + \left( \frac{8}{17} \right)^2 = 1 \]
Вычислим \( \left( \frac{8}{17} \right)^2 \):
\[ \left( \frac{8}{17} \right)^2 = \frac{64}{289} \]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[ \sin^2 \beta + \frac{64}{289} = 1 \]
Вычтем \( \frac{64}{289} \) из обоих сторон:
\[ \sin^2 \beta = 1 - \frac{64}{289} \]
Чтобы вычесть, представим 1 в виде дроби с тем же знаменателем:
\[ 1 = \frac{289}{289} \]
Теперь у нас:
\[ \sin^2 \beta = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \]
Теперь найдём \( \sin \beta \):
\[ \sin \beta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \]
- Теперь найдём \( \tan \beta \):
Чтобы найти \( \tan \beta \), используем определение тангенса:
\[ \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \]
Подставим известные значения:
\[ \tan \beta = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = \frac{15}{8} \]
- И наконец, найдём \( \cot \beta \):
Котангенс — это обратная величина тангенса:
\[ \cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} = \frac{8}{15} \]
Итог:
- \( \sin \beta = \frac{15}{17} \)
- \( \tan \beta = \frac{15}{8} \)
- \( \cot \beta = \frac{8}{15} \)
Теперь у вас есть все нужные значения тригонометрических функций для угла \( \beta \).
