Объëм конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см³.Найдите площадь боковой поверхности конуса
Для того чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, начнем с формул для вычисления объëма конуса и площади боковой поверхности.
Формула для объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где:
- \( V \) — объем,
- \( r \) — радиус основания,
- \( h \) — высота конуса.
Формула для площади боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{бок.}} = \pi r l \] где:
- \( S_{\text{бок.}} \) — площадь боковой поверхности,
- \( l \) — генерирующая (наклонная) высота конуса, которую мы сначала найдем.
Шаг 1: Используем формулу объема, чтобы найти высоту \( h \).
Дано:
- Радиус \( r = 6 \) см,
- Объем \( V = 96\pi \) см³.
Подставим в формулу для объема: \[ 96\pi = \frac{1}{3} \pi (6^2) h \]
Сначала упростим: \[ 96\pi = \frac{1}{3} \pi (36) h \] \[ 96\pi = 12\pi h \]
Теперь избавимся от \(\pi\): \[ 96 = 12h \]
Теперь найдем высоту \( h \): \[ h = \frac{96}{12} = 8 \text{ см} \]
Шаг 2: Находим наклонную высоту \( l \).
Используем теорему Пифагора, чтобы найти \( l \): \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \] \[ l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок.}} \).
Теперь подставим найденные значения в формулу для площади боковой поверхности: \[ S_{\text{бок.}} = \pi r l = \pi (6)(10) = 60\pi \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна \( 60\pi \) см².
