Боковые рёбра треугольной пирамиды PABC взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 6. Найдите объём пирамиды.

Чтобы найти объём треугольной пирамиды \( PABC \) с взаимоперпендикулярными боковыми рёбрами, воспользуемся формулой для объёма пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h \] где \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. 1. **Понимание структуры пирамиды:** У нас есть треугольная пирамида \( PABC \) с вершиной \( P \) и основанием \( ABC \). Рёбра \( PA \), \( PB \) и \( PC \) равны 6 и перпендикулярны друг другу. 2. **Определим основание:** Так как боковые рёбра перпендикулярны, можно считать, что они образуют координатную систему, где: - \( P = (0, 0, 0) \) - \( A = (6, 0, 0) \) - \( B = (0, 6, 0) \) - \( C = (0, 0, 6) \) Здесь мы выбрали точку \( P \) как начало координат, и каждый из пунктов \( A, B, C \) располагается на оси, соответствующей одной из координатных осей. 3. **Площадь треугольника ABC:** Для нахождения площади треугольника \( ABC \), можно использовать формулу для площади треугольника по координатам: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты точек \( A(6, 0, 0) \), \( B(0, 6, 0) \) и \( C(0, 0, 6) \): - \( x_1 = 6, y_1 = 0 \) (A) - \( x_2 = 0, y_2 = 6 \) (B) - \( x_3 = 0, y_3 = 0 \) (C) Поскольку у нас треугольник в плоскости \( xy \) (при \( z = 0 \)), подставим: \[ S = \frac{1}{2} \left| 6(6 - 0) + 0(0 - 0) + 0(0 - 6) \right| = \frac{1}{2} \left| 36 \right| = 18 \] 4. **Высота пирамиды:** Высота \( h \) треугольной пирамиды — это расстояние от точки \( P \) до плоскости, содержащей треугольник \( ABC \). Поскольку точка \( P \) находится на вершине, и все рёбра равны и перпендикулярны, высота \( h \) равняется длине ребра, что составляет 6. 5. **Объём пирамиды:** Теперь подставим значения в формулу для объёма пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot 108 = 36 \] Таким образом, объём треугольной пирамиды \( PABC \) равен **36** кубических единиц.