Для решения задачи начнем с обозначения вероятностей попадания и промаха каждого стрелка.
Пусть:
- ( p ) — вероятность попадания первого стрелка в мишень,
- ( q ) — вероятность попадания второго стрелка в мишень.
Таким образом, вероятность промаха первого стрелка составляет ( 1 - p ), а второго стрелка — ( 1 - q ).
Согласно условию, у нас есть следующие данные:
- Вероятность того, что оба стрелка попали в мишень (это событие обозначаем как ( P(\text{оба попали}) )):
[
P(\text{оба попали}) = p \cdot q = 0.54
]
- Вероятность того, что оба промахнулись (обозначим как ( P(\text{оба промахнулись}) )):
[
P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p) \cdot (1 - q) = 0.04
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
- \quad p \cdot q = 0.54
]
[
- \quad (1 - p)(1 - q) = 0.04
]
Давайте начнем с упрощения второго уравнения. Раскроем скобки во втором уравнении:
[
(1 - p)(1 - q) = 1 - p - q + pq
]
Таким образом, из второго уравнения получаем:
[
1 - p - q + pq = 0.04
]
Заменяем ( pq ) из первого уравнения:
[
1 - p - q + 0.54 = 0.04
]
Упростим это уравнение:
[
1 - p - q + 0.54 = 0.04 \implies 1.54 - p - q = 0.04 \implies p + q = 1.54 - 0.04
]
[
p + q = 1.50
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( p \cdot q = 0.54 )
- ( p + q = 1.50 )
Из второго уравнения выразим ( q ):
[
q = 1.50 - p
]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
[
p(1.50 - p) = 0.54
]
Раскроем скобки:
[
1.50p - p^2 = 0.54
]
Переносим все в одну сторону и упорядочим уравнение:
[
p^2 - 1.50p + 0.54 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-1.50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.54 = 2.25 - 2.16 = 0.09
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.50 \pm \sqrt{0.09}}{2}
]
[
p = \frac{1.50 \pm 0.3}{2}
]
Таким образом, у нас два возможных значения для ( p ):
- ( p_1 = \frac{1.50 + 0.3}{2} = \frac{1.80}{2} = 0.90 )
- ( p_2 = \frac{1.50 - 0.3}{2} = \frac{1.20}{2} = 0.60 )
Теперь мы можем найти соответствующие значения для ( q ):
- Если ( p = 0.90 ), то ( q = 1.50 - 0.90 = 0.60 ).
- Если ( p = 0.60 ), то ( q = 0.90 ).
Таким образом, вероятности попадания в мишень каждым стрелком одинаковы и равны 0.60 и 0.90.
Следовательно, ответ таков:
- Вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле равна 0.60 или 0.90.
