Найти

Для решения задачи найдем минимальное значение выражения \( x^2 + y^2 \) при условии, что \( x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \). 1. **Выразим одно переменное через другое из условия:** Условие: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \] 2. **Перепишем в виде разности квадратов и линейных членов:** \[ x^2 + 6x - (y^2 - 4y) + 5 = 0 \] 3. **Приведем к полным квадратам:** Для \( x^2 + 6x \): \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] Для \( y^2 - 4y \): \[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 \] Подставляем: \[ (x + 3)^2 - 9 - ( (y - 2)^2 - 4 ) + 5 = 0 \] Упрощаем: \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 - 9 + 4 + 5 = 0 \] \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0 \] 4. **Из условия видно, что \( (x + 3)^2 = (y - 2)^2 \):** Значит, либо \[ x + 3 = y - 2 \] либо \[ x + 3 = -(y - 2) \] Решим оба случая. 5. **Первый случай: \( x + 3 = y - 2 \):** \[ y = x + 5 \] Подставляем в \( x^2 + y^2 \): \[ x^2 + (x + 5)^2 = x^2 + x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 10x + 25 \] 6. **Второй случай: \( x + 3 = -(y - 2) \):** \[ y = -x - 1 \] Подставляем в \( x^2 + y^2 \): \[ x^2 + (-x - 1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1 \] 7. **Поиск минимума:** Для каждого случая найдем производную и определим минимум. - Для \( 2x^2 + 10x + 25 \): \[ f'(x) = 4x + 10 \] Приравниваем к нулю: \[ 4x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2} \] Подставляем \( x = -\frac{5}{2} \) в выражение: \[ 2\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 10\left(-\frac{5}{2}\right) + 25 = \frac{25}{2} - 25 + 25 = \frac{25}{2} \] - Для \( 2x^2 + 2x + 1 \): \[ f'(x) = 4x + 2 \] Приравниваем к нулю: \[ 4x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2} \] Подставляем \( x = -\frac{1}{2} \) в выражение: \[ 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \] 8. **Ответ:** Минимальное значение \( x^2 + y^2 \) равно \( \frac{1}{2} \).