Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу и меньший катет только решение

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим углы прямоугольного треугольника. Пусть один острый угол равен \( x \) (в градусах), тогда другой острый угол \( 2x \).

2. Мы знаем, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам: \[ x + 2x = 90 \implies 3x = 90 \implies x = 30 \text{ градусов} \] Таким образом, один острый угол \( 30^\circ \), а другой \( 60^\circ \).

3. Обозначим стороны треугольника:

   • \( a \) — меньший катет (против угла 30°)
   • \( b \) — больший катет (против угла 60°)
   • \( c \) — гипотенуза

4. По свойствам углов \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \) для прямоугольного треугольника имеем: \[ a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 \] Таким образом: \[ b = a \sqrt{3}, \quad c = 2a \]

5. По условию задачи разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: \[ c - a = 15 \] Подставляем значение гипотенузы через меньший катет: \[ 2a - a = 15 \implies a = 15 \text{ см} \]

6. Находим гипотенузу: \[ c = 2a = 2 \times 15 = 30 \text{ см} \]

Таким образом, меньший катет \( a \) равен 15 см, а гипотенуза \( c \) равна 30 см.