Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятности отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Шаг 1: Определим параметры задачи
У нас есть 20 независимо работающих блок-схем. Каждая блок-схема имеет вероятность отказа ( p = 0.06 ). Обозначим:
- ( n = 20 ) (число блок-схем)
- ( X ) — количество отказавших блок-схем за время ( t ).
Шаг 2: Найдем математическое ожидание и дисперсию
Математическое ожидание ( E(X) ) для биномиального распределения рассчитывается по формуле:
[
E(X) = n \cdot p
]
Подставим значения:
[
E(X) = 20 \cdot 0.06 = 1.2
]
Дисперсия ( \text{Var}(X) ) также вычисляется по формуле:
[
\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
]
Таким образом:
[
\text{Var}(X) = 20 \cdot 0.06 \cdot (1 - 0.06) = 20 \cdot 0.06 \cdot 0.94
]
Вычислим это значение:
[
\text{Var}(X) = 20 \cdot 0.0564 = 1.128
]
Шаг 3: Применим неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева гласит, что для любой случайной величины ( X ) и ( k > 0 ):
[
P(|X - E(X)| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]
Здесь ( \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} ) — стандартное отклонение. Посчитаем его:
[
\sigma = \sqrt{1.128} \approx 1.06
]
У нас есть отклонение от среднего числа отказов:
[
k = 2 \quad \text{(так как интересует отклонение меньше двух)}
]
Теперь подставим в неравенство:
[
P(|X - 1.2| < 2) = 1 - P(|X - 1.2| \geq 2)
]
Найдем ( k ):
[
k = \frac{2}{\sigma} \approx \frac{2}{1.06} \approx 1.89
]
Итак, по неравенству Чебышева:
[
P(|X - 1.2| \geq 2) \leq \frac{1}{(1.89)^2} \approx \frac{1}{3.5761} \approx 0.279
]
Шаг 4: Найдем нижнюю границу вероятности
Теперь мы можем найти верхнюю границу для ( P(|X - 1.2| < 2) ):
[
P(|X - 1.2| < 2) \geq 1 - 0.279 \approx 0.721
]
Итог
Таким образом, мы получили, что нижняя граница вероятности того, что отклонение числа отказавших блок-схем от среднего числа отказов окажется меньше двух, равна:
[
\boxed{0.721}
]
