Прибор состоит из 20 независимо работающих блок-схем. Вероятность отказа каждой блок-схемы за время t равна 0,06 . С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что…

Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятности отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Шаг 1: Определим параметры задачи

У нас есть 20 независимо работающих блок-схем. Каждая блок-схема имеет вероятность отказа \( p = 0.06 \). Обозначим:

• \( n = 20 \) (число блок-схем)
• \( X \) — количество отказавших блок-схем за время \( t \).

Шаг 2: Найдем математическое ожидание и дисперсию

Математическое ожидание \( E(X) \) для биномиального распределения рассчитывается по формуле: \[ E(X) = n \cdot p \] Подставим значения: \[ E(X) = 20 \cdot 0.06 = 1.2 \]

Дисперсия \( \text{Var}(X) \) также вычисляется по формуле: \[ \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \] Таким образом: \[ \text{Var}(X) = 20 \cdot 0.06 \cdot (1 - 0.06) = 20 \cdot 0.06 \cdot 0.94 \] Вычислим это значение: \[ \text{Var}(X) = 20 \cdot 0.0564 = 1.128 \]

Шаг 3: Применим неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева гласит, что для любой случайной величины \( X \) и \( k > 0 \): \[ P(|X - E(X)| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]

Здесь \( \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \) — стандартное отклонение. Посчитаем его: \[ \sigma = \sqrt{1.128} \approx 1.06 \]

У нас есть отклонение от среднего числа отказов: \[ k = 2 \quad \text{(так как интересует отклонение меньше двух)} \]

Теперь подставим в неравенство: \[ P(|X - 1.2| < 2) = 1 - P(|X - 1.2| \geq 2) \]

Найдем \( k \): \[ k = \frac{2}{\sigma} \approx \frac{2}{1.06} \approx 1.89 \]

Итак, по неравенству Чебышева: \[ P(|X - 1.2| \geq 2) \leq \frac{1}{(1.89)^2} \approx \frac{1}{3.5761} \approx 0.279 \]

Шаг 4: Найдем нижнюю границу вероятности

Теперь мы можем найти верхнюю границу для \( P(|X - 1.2| < 2) \): \[ P(|X - 1.2| < 2) \geq 1 - 0.279 \approx 0.721 \]

Итог

Таким образом, мы получили, что нижняя граница вероятности того, что отклонение числа отказавших блок-схем от среднего числа отказов окажется меньше двух, равна: \[ \boxed{0.721} \]