Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 3, нужно сначала понять, как соотносятся размеры параллелепипеда и радиус сферы.
Шаг 1: Связь радиуса сферы и размеров параллелепипеда
Сфера радиуса ( r = 3 ) вписана в параллелепипед. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой поверхности параллелепипеда равно радиусу сферы. Таким образом:
- Если обозначить размеры параллелепипеда как ( a ), ( b ), ( c ) (где ( a ), ( b ), ( c ) — длины, ширина и высота), то радиус сферы ( r ) равен половине минимальной длины от всех трех измерений параллелепипеда.
Можно записать следующее соотношение:
[
\frac{a}{2} = \frac{b}{2} = \frac{c}{2} = r = 3
]
Это означает, что:
[
a = 6, \quad b = 6, \quad c = 6
]
Это происходит в случае, когда параллелепипед является кубом. Поэтому размеры нашего параллелепипеда равны 6 (все стороны равны).
Шаг 2: Площадь поверхности параллелепипеда
Площадь поверхности ( S ) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
[
S = 2(ab + ac + bc)
]
Подставляя наши значения:
[
S = 2(6 \cdot 6 + 6 \cdot 6 + 6 \cdot 6) = 2(36 + 36 + 36) = 2(108) = 216
]
Ответ
Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 3, составляет ( 216 ) квадратных единиц.
