Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 3. Найдите его площадь поверхности,

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 3, нужно сначала понять, как соотносятся размеры параллелепипеда и радиус сферы.

Шаг 1: Связь радиуса сферы и размеров параллелепипеда

Сфера радиуса \( r = 3 \) вписана в параллелепипед. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой поверхности параллелепипеда равно радиусу сферы. Таким образом:

• Если обозначить размеры параллелепипеда как \( a \), \( b \), \( c \) (где \( a \), \( b \), \( c \) — длины, ширина и высота), то радиус сферы \( r \) равен половине минимальной длины от всех трех измерений параллелепипеда.

Можно записать следующее соотношение: \[ \frac{a}{2} = \frac{b}{2} = \frac{c}{2} = r = 3 \] Это означает, что: \[ a = 6, \quad b = 6, \quad c = 6 \]

Это происходит в случае, когда параллелепипед является кубом. Поэтому размеры нашего параллелепипеда равны 6 (все стороны равны).

Шаг 2: Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности \( S \) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ S = 2(ab + ac + bc) \] Подставляя наши значения: \[ S = 2(6 \cdot 6 + 6 \cdot 6 + 6 \cdot 6) = 2(36 + 36 + 36) = 2(108) = 216 \]

Ответ

Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 3, составляет \( 216 \) квадратных единиц.