Чтобы найти длину дуги окружности, нам нужно использовать формулу:
[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times C ]
где:
- ( L ) — длина дуги,
- ( \theta ) — угол (в градусах), соответствующий дуге,
- ( C ) — длина окружности, которая рассчитывается по формуле ( C = 2 \times r \times \pi ), где ( r ) — радиус окружности.
В нашей задаче:
- радиус ( r = 3 ) см,
- градусная мера дуги ( \theta = 150^\circ ).
Шаг 1: Найдем длину окружности
Сначала найдем длину окружности ( C ) для окружности с радиусом 3 см. Используя формулу ( C = 2 \times r \times \pi ):
[ C = 2 \times 3 \times \pi = 6\pi ]
Шаг 2: Найдем длину дуги
Теперь подставим значения в формулу для длины дуги:
[ L = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times C ]
[ L = \frac{150}{360} \times 6\pi ]
Шаг 3: Упростим выражение
Упростим дробь ( \frac{150}{360} ):
- Разделим числитель и знаменатель на 30:
[ \frac{150 \div 30}{360 \div 30} = \frac{5}{12} ]
Теперь подставим это в формулу:
[ L = \frac{5}{12} \times 6\pi ]
Шаг 4: Умножим
Произведем умножение:
[ L = \frac{5 \times 6\pi}{12} ]
[ L = \frac{30\pi}{12} ]
Шаг 5: Упростим
Упростим ( \frac{30}{12} ):
[ \frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2} ]
Таким образом, мы имеем:
[ L = \frac{5}{2} \cdot \pi ]
Поскольку π не должен использоваться в окончательном ответе, представим итоговое значение как ( \frac{5}{2} \cdot 3,14 ) (что на самом деле будет приближением 7,85 см), или просто оставим ( L = \frac{5}{2} \cdot \pi ).
Ответ
Длина дуги окружности радиусом 3 см и углом в 150° равна ( \frac{5}{2}\pi ) см.
