В треугольнике АВС угол C равен 90°, М середина стороны АВ, AB = 20 BC =10 Найдите СМ

Для решения задачи начнем с визуализации треугольника ABC, где угол C равен 90°. Значит, треугольник ABC является прямоугольным. Дадим определение сторонам:

• AB — гипотенуза,
• BC и AC — катеты.

Длина стороны AB (гипотенузы) равна 20, а одна из сторон BC равна 10. Нам нужно найти длину отрезка CM, где M — середина отрезка AB.

Шаг 1: Найдем длину AC

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 20^2 = AC^2 + 10^2 \]

Это приводит нас к уравнению:

\[ 400 = AC^2 + 100 \]

Теперь вычтем 100 из обеих сторон:

\[ AC^2 = 400 - 100 = 300 \]

Теперь, чтобы найти AC, извлечем квадратный корень:

\[ AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]

Шаг 2: Находим длину CM

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника:

• AB = 20
• BC = 10
• AC = \(10\sqrt{3}\)

Сначала найдем координаты точки C. Предположим, что точка C находится в начале координат (0, 0). Тогда координаты:

• \(A(0, 10)\) — это по стандартным координатам, если BC = 10,
• \(B(20, 10)\) — это по стандартным координатам, если A и B лежат на одной горизонтальной линии.

Теперь найдем координаты точки M — середины отрезка AB:

\[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 20}{2}, \frac{10 + 10}{2}\right) = M(10, 10) \]

Таким образом, координаты M это (10, 10) и координаты C (0, 0).

Шаг 3: Найдем длину CM

Теперь используем формулу расстояния между двумя точками \(C(0, 0)\) и \(M(10, 10)\):

\[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} \]

Подставляем координаты:

\[ CM = \sqrt{(10 - 0)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]

Ответ

Таким образом, длина отрезка CM равна \(10\sqrt{2}\).