Реши

Для решения задачи будем использовать теорему косинусов. Она позволяет найти сторону треугольника, зная две другие стороны и угол между ними.

В треугольнике \( \triangle STR \):

• \( ST = 8\sqrt{3} \)
• \( SR = 10 \)
• угол \( STR = 30^\circ \)

Мы хотим найти длину стороны \( TR = s \).

Запишем теорему косинусов:

\[ s^2 = ST^2 + SR^2 - 2 \cdot ST \cdot SR \cdot \cos(STR) \]

Подставим известные значения в формулу:

\[ s^2 = (8\sqrt{3})^2 + 10^2 - 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \cos(30^\circ) \]

\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь посчитаем:

1. \( (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192 \)
2. \( 10^2 = 100 \)
3. \( 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 10 \cdot 3 = 240 \)

Теперь подставим все это в формулу:

\[ s^2 = 192 + 100 - 240 \]

\[ s^2 = 292 - 240 = 52 \]

Теперь находим \( s \), извлекая квадратный корень из 52:

\[ s = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \]

Таким образом, длина \( TR \) равна \( 2\sqrt{13} \). Ответ: \( 2\sqrt{13} \).