найди производную. y=x(x²-5x+1)
Для нахождения производной функции \( y = x(x^2 - 5x + 1) \) будем использовать правило произведения. Если у нас есть произведение двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная этого произведения находится по формуле:
\[ (y)' = u'v + uv' \]
Где:
- \( u \) — первая функция,
- \( v \) — вторая функция,
- \( u' \) — производная первой функции,
- \( v' \) — производная второй функции.
В нашем случае:
- \( u = x \)
- \( v = x^2 - 5x + 1 \)
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):
Находим производную \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx} x = 1 \]
Находим производную \( v \): Для функции \( v = x^2 - 5x + 1 \) применим основные правила дифференцирования: \[ v' = \frac{d}{dx} (x^2) - \frac{d}{dx} (5x) + \frac{d}{dx} (1) \] \[ v' = 2x - 5 + 0 = 2x - 5 \]
Теперь мы можем подставить значения \( u, v, u' \), и \( v' \) в формулу для производной:
\[ y' = u'v + uv' \]
Подставляем: \[ y' = (1)(x^2 - 5x + 1) + (x)(2x - 5) \] Теперь упростим это выражение:
Раскроем скобки: \[ y' = x^2 - 5x + 1 + (2x^2 - 5x) \]
Объединим подобные слагаемые: \[ y' = x^2 + 2x^2 - 5x - 5x + 1 = 3x^2 - 10x + 1 \]
Таким образом, производная функции \( y = x(x^2 - 5x + 1) \) равна: \[ y' = 3x^2 - 10x + 1 \]
Это окончательный ответ. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!
