(x-4)×(x-2) < 0
Чтобы решить неравенство \((x - 4) \times (x - 2) < 0\), следуем пошагово:
Шаг 1: Найдем нули произведения
Сначала найдем, при каких значениях \(x\) выражение равно нулю. Для этого приравняем каждую скобку к нулю:
- \(x - 4 = 0\) \(\Rightarrow x = 4\)
- \(x - 2 = 0\) \(\Rightarrow x = 2\)
Таким образом, нули нашего произведения — это \(x = 2\) и \(x = 4\).
Шаг 2: Определим интервалы
Теперь разделим числовую прямую на интервалы с этими нулями:
- \( (-\infty, 2) \)
- \( (2, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Шаг 3: Выберем тестовые значения
Мы должны проверить знак произведения в каждом из этих интервалов. Для этого возьмем тестовые значения из каждого интервала:
Интервал \( (-\infty, 2) \): возьмем \(x = 0\): \[ (0 - 4)(0 - 2) = (-4)(-2) = 8 > 0 \] Значит, в этом интервале знак положительный.
Интервал \( (2, 4) \): возьмем \(x = 3\): \[ (3 - 4)(3 - 2) = (-1)(1) = -1 < 0 \] Значит, в этом интервале знак отрицательный.
Интервал \( (4, +\infty) \): возьмем \(x = 5\): \[ (5 - 4)(5 - 2) = (1)(3) = 3 > 0 \] Значит, в этом интервале знак положительный.
Шаг 4: Составим итоговый ответ
Мы ищем, где произведение меньше нуля, т.е.: \[ (x - 4)(x - 2) < 0 \] Согласно нашим вычислениям, это выполняется в интервале \( (2, 4) \).
Шаг 5: Ответ
Таким образом, решение неравенства \((x - 4) \times (x - 2) < 0\) — это интервал:
\[ \boxed{(2, 4)} \]
В этом интервале выражение отрицательно, что соответствует условиям задачи.
