Чтобы решить задачу, начнем с того, что обозначим два угла, которые являются смежными. Пусть первый угол будет ( x ), а второй угол будет ( y ).
Согласно свойствам смежных углов, мы знаем, что сумма двух смежных углов равняется ( 180^\circ ). Значит:
[
x + y = 180^\circ
]
В задаче сказано, что третья часть одного угла и три пятых другого угла в сумме дают прямой угол (( 90^\circ )). Это можно записать так:
[
\frac{1}{3}x + \frac{3}{5}y = 90^\circ
]
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( x + y = 180 )
- ( \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}y = 90 )
Теперь нужно решить эту систему уравнений.
Шаг 1: Выразим один угол через другой.
Из первого уравнения можно выразить ( y ):
[
y = 180 - x
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение.
Теперь подставим ( y ) во второе уравнение:
[
\frac{1}{3}x + \frac{3}{5}(180 - x) = 90
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
Сначала раскрываем скобки:
[
\frac{1}{3}x + \frac{3}{5} \cdot 180 - \frac{3}{5}x = 90
]
Посчитаем ( \frac{3}{5} \cdot 180 ):
[
\frac{3}{5} \cdot 180 = 108
]
Теперь уравнение будет выглядеть так:
[
\frac{1}{3}x - \frac{3}{5}x + 108 = 90
]
Шаг 4: Приведем к общему знаменателю.
Общий знаменатель для ( \frac{1}{3} ) и ( \frac{3}{5} ) — 15. Приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{5}{15}x - \frac{9}{15}x + 108 = 90
]
Сложим дроби:
[
-\frac{4}{15}x + 108 = 90
]
Шаг 5: Переносим 108 на правую сторону.
[
-\frac{4}{15}x = 90 - 108
]
[
-\frac{4}{15}x = -18
]
Шаг 6: Умножим обе стороны на (-\frac{15}{4}).
[
x = -18 \cdot -\frac{15}{4} = \frac{270}{4} = 67.5
]
Теперь, чтобы найти ( y ), подставим значение ( x ) в первое уравнение:
[
y = 180 - 67.5 = 112.5
]
Ответ:
Таким образом, смежные углы равны ( 67.5^\circ ) и ( 112.5^\circ ).
