треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.
Чтобы решить задачу, начнем с того, что обозначим два угла, которые являются смежными. Пусть первый угол будет \( x \), а второй угол будет \( y \).
Согласно свойствам смежных углов, мы знаем, что сумма двух смежных углов равняется \( 180^\circ \). Значит:
\[ x + y = 180^\circ \]
В задаче сказано, что третья часть одного угла и три пятых другого угла в сумме дают прямой угол (\( 90^\circ \)). Это можно записать так:
\[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}y = 90^\circ \]
Теперь у нас есть два уравнения:
- \( x + y = 180 \)
- \( \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}y = 90 \)
Теперь нужно решить эту систему уравнений.
Шаг 1: Выразим один угол через другой.
Из первого уравнения можно выразить \( y \):
\[ y = 180 - x \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение.
Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:
\[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}(180 - x) = 90 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
Сначала раскрываем скобки:
\[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{5} \cdot 180 - \frac{3}{5}x = 90 \]
Посчитаем \( \frac{3}{5} \cdot 180 \):
\[ \frac{3}{5} \cdot 180 = 108 \]
Теперь уравнение будет выглядеть так:
\[ \frac{1}{3}x - \frac{3}{5}x + 108 = 90 \]
Шаг 4: Приведем к общему знаменателю.
Общий знаменатель для \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{3}{5} \) — 15. Приведем дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{5}{15}x - \frac{9}{15}x + 108 = 90 \]
Сложим дроби:
\[ -\frac{4}{15}x + 108 = 90 \]
Шаг 5: Переносим 108 на правую сторону.
\[ -\frac{4}{15}x = 90 - 108 \] \[ -\frac{4}{15}x = -18 \]
Шаг 6: Умножим обе стороны на \(-\frac{15}{4}\).
\[ x = -18 \cdot -\frac{15}{4} = \frac{270}{4} = 67.5 \]
Теперь, чтобы найти \( y \), подставим значение \( x \) в первое уравнение:
\[ y = 180 - 67.5 = 112.5 \]
Ответ:
Таким образом, смежные углы равны \( 67.5^\circ \) и \( 112.5^\circ \).
