(х-1)(х-2)(х-5)≤0 решить методом интервала
Чтобы решить неравенство \((x - 1)(x - 2)(x - 5) \leq 0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому процессу.
Шаг 1: Найдем корни неравенства
Первым делом нужно найти корни (нулевые значения) функции: \[ (x - 1)(x - 2)(x - 5) = 0 \] Уравнение равно нулю, когда каждый из множителей равен нулю:
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
Таким образом, корни неравенства: \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 5\).
Шаг 2: Определим интервалы
Теперь определим интервалы, на которых будем рассматривать знак выражения \((x - 1)(x - 2)(x - 5)\). Эти корни делят числовую ось на следующие интервалы:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (2, 5) \)
- \( (5, \infty) \)
Шаг 3: Протестируем интервалы
Теперь нам нужно выбрать точку из каждого интервала и определить, будет ли произведение положительным или отрицательным.
Интервал \( (-\infty, 1) \): Выберем точку \( x = 0 \) \[ (0 - 1)(0 - 2)(0 - 5) = (-1)(-2)(-5) = -10 \quad (\text{отрицательное}) \]
Интервал \( (1, 2) \): Выберем точку \( x = 1.5 \) \[ (1.5 - 1)(1.5 - 2)(1.5 - 5) = (0.5)(-0.5)(-3.5) = 0.875 \quad (\text{положительное}) \]
Интервал \( (2, 5) \): Выберем точку \( x = 3 \) \[ (3 - 1)(3 - 2)(3 - 5) = (2)(1)(-2) = -4 \quad (\text{отрицательное}) \]
Интервал \( (5, \infty) \): Выберем точку \( x = 6 \) \[ (6 - 1)(6 - 2)(6 - 5) = (5)(4)(1) = 20 \quad (\text{положительное}) \]
Шаг 4: Составляем решение
Сейчас мы собрали всю информацию о знаках выражения на каждом интервале:
- \( (-\infty, 1) \): \(\leq 0\) (отрицательное)
- \( (1, 2) \): \(> 0\) (положительное)
- \( (2, 5) \): \(\leq 0\) (отрицательное)
- \( (5, \infty) \): \(> 0\) (положительное)
Теперь учтем, что в неравенстве присутствует знак «меньше или равно» (\(\leq\)). Это значит, что мы включаем в решение корни \(x=1\), \(x=2\) и \(x=5\):
Итоговое решение
Таким образом, общее решение неравенства \((x - 1)(x - 2)(x - 5) \leq 0\): \[ x \in (-\infty, 1] \cup [2, 5] \]
Это означает, что \(x\) может принимать значения от минус бесконечности до 1 (включительно), а также от 2 до 5 (включительно).
