(х-1)(х-2)(х-5)≤0 решить методом интервала

Чтобы решить неравенство \((x - 1)(x - 2)(x - 5) \leq 0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому процессу. ### Шаг 1: Найдем корни неравенства Первым делом нужно найти корни (нулевые значения) функции: \[ (x - 1)(x - 2)(x - 5) = 0 \] Уравнение равно нулю, когда каждый из множителей равен нулю: 1. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) 2. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) 3. \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) Таким образом, корни неравенства: \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 5\). ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь определим интервалы, на которых будем рассматривать знак выражения \((x - 1)(x - 2)(x - 5)\). Эти корни делят числовую ось на следующие интервалы: 1. \( (-\infty, 1) \) 2. \( (1, 2) \) 3. \( (2, 5) \) 4. \( (5, \infty) \) ### Шаг 3: Протестируем интервалы Теперь нам нужно выбрать точку из каждого интервала и определить, будет ли произведение положительным или отрицательным. 1. **Интервал \( (-\infty, 1) \)**: Выберем точку \( x = 0 \) \[ (0 - 1)(0 - 2)(0 - 5) = (-1)(-2)(-5) = -10 \quad (\text{отрицательное}) \] 2. **Интервал \( (1, 2) \)**: Выберем точку \( x = 1.5 \) \[ (1.5 - 1)(1.5 - 2)(1.5 - 5) = (0.5)(-0.5)(-3.5) = 0.875 \quad (\text{положительное}) \] 3. **Интервал \( (2, 5) \)**: Выберем точку \( x = 3 \) \[ (3 - 1)(3 - 2)(3 - 5) = (2)(1)(-2) = -4 \quad (\text{отрицательное}) \] 4. **Интервал \( (5, \infty) \)**: Выберем точку \( x = 6 \) \[ (6 - 1)(6 - 2)(6 - 5) = (5)(4)(1) = 20 \quad (\text{положительное}) \] ### Шаг 4: Составляем решение Сейчас мы собрали всю информацию о знаках выражения на каждом интервале: - \( (-\infty, 1) \): \(\leq 0\) (отрицательное) - \( (1, 2) \): \(> 0\) (положительное) - \( (2, 5) \): \(\leq 0\) (отрицательное) - \( (5, \infty) \): \(> 0\) (положительное) Теперь учтем, что в неравенстве присутствует знак «меньше или равно» (\(\leq\)). Это значит, что мы включаем в решение корни \(x=1\), \(x=2\) и \(x=5\): ### Итоговое решение Таким образом, общее решение неравенства \((x - 1)(x - 2)(x - 5) \leq 0\): \[ x \in (-\infty, 1] \cup [2, 5] \] Это означает, что \(x\) может принимать значения от минус бесконечности до 1 (включительно), а также от 2 до 5 (включительно).