На рисунке изображена мишень АВС, имеющая форму равносторонне- го треугольника; К, М, N - середины его сторон. а) Стрелок, стрелявший в мишень не целясь, попал в нее. Какова вероятность, что он попал в четырехугольник AMNK? В треугольник АМК?

Для решения задачи давайте разберем приведенную ситуацию: 1. **Равносторонний треугольник АВС**: Все стороны равны, и углы между сторонами равны 60°. 2. **Точки K, M, N** - середины сторон треугольника. Это значит, что отрезки \(AK = KB\), \(BM = MC\) и \(CN = NA\). ### а) Вероятность попадания в четырехугольник AMNK 1. **Площадь исходного треугольника ABC**: Обозначим сторону треугольника как \(a\). Тогда его площадь будет: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 2. **Треугольники AMK, BMN и CNM**: Это равносторонние треугольники, так как каждое ребро состоит из двух равных частей, образованных серединами. 3. **Четырехугольник AMNK**: Фактически является частью треугольников AMK и CNM. 4. **Площадь треугольника AMK**: Каждая сторона этого треугольника равна половине стороны треугольника ABC, то есть \( \frac{a}{2} \). Тогда: \[ S_{AMK} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{16} a^2 \] 5. **Площадь четырехугольника AMNK**: Он состоит из трех таких треугольников AMK, BMN и CNM. Таким образом: \[ S_{AMNK} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{16} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{16} a^2 \] 6. **Вероятность попадания в AMNK**: Отношение площади AMNK к площади всего треугольника ABC: \[ P(\text{AMNK}) = \frac{S_{AMNK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{16} a^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2} = \frac{3}{4} \] ### Вероятность попадания в треугольник AMK 1. **Вероятность попадания в AMK**: Нужно рассмотреть его площадь относительно всей мишени: \[ P(\text{AMK}) = \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{16} a^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2} = \frac{1}{4} \] Таким образом, вероятность попадания: - В четырехугольник AMNK: \(\frac{3}{4}\). - В треугольник AMK: \(\frac{1}{4}\).