Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{4}{(9 - 7x)^5} ), мы используем правило производной для дробей и правило цепной производной. Давайте разберём шаг за шагом.
Шаг 1: Приведение функции к удобному виду
Запишем функцию в более подходящей для дифференцирования форме:
[
f(x) = 4(9 - 7x)^{-5}
]
Шаг 2: Применение правила производной
Для нахождения производной функции ( f(x) ), будем использовать правило произведения и правило цепочки. Правило цепной производной звучит так: если ( g(x) = h(u) \cdot u(x) ), то:
[
g'(x) = h'(u) \cdot u'(x)
]
В нашем случае, ( h(u) = 4u^{-5} ), где ( u = 9 - 7x ).
Шаг 3: Находим производную ( h(u) )
Теперь найдем производную ( h(u) ):
[
h'(u) = 4 \cdot (-5)u^{-6} = -20u^{-6} = -\frac{20}{u^6}
]
Шаг 4: Находим производную ( u(x) )
Теперь найдем производную ( u = 9 - 7x ):
[
u'(x) = -7
]
Шаг 5: Применяем правило цепной производной
Теперь подставим всё это обратно в формулу производной:
[
f'(x) = h'(u) \cdot u'(x) = -\frac{20}{(9 - 7x)^6} \cdot (-7)
]
Шаг 6: Упрощение
Умножаем:
[
f'(x) = \frac{20 \cdot 7}{(9 - 7x)^6} = \frac{140}{(9 - 7x)^6}
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{4}{(9 - 7x)^5} ) равна:
[
f'(x) = \frac{140}{(9 - 7x)^6}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо объяснить какие-то моменты подробнее, пожалуйста, дайте знать!
