В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: a) b = 10, ZB = 45°; б) b =15, ZB =…

Для решения задачи мы воспользуемся основными свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими отношениями. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике (где один угол равен 90°) мы имеем:

• Катет — это стороны треугольника, которые образуют прямой угол.
• Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу, и она является самой длинной стороной.
• Противолежащий катет — это катет, который лежит напротив заданного угла.

В нашем случае один из катетов равен \( b \), а противолежащий угол равен \( B \). Мы будем использовать следующие тригонометрические функции:

• \( \sin \)
• \( \cos \)
• \( \tan \)

Формулы

Если обозначить:

• \( a \) — другой катет,
• \( c \) — гипотенуза, то в зависимости от угла \( B \) мы можем использовать:
• \( \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} \)
• \( \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} \)
• \( \tan B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} \)

Из этих соотношений мы можем выразить \( a \) и \( c \).

a) \( b = 10 \), \( B = 45^\circ \)

При угле \( 45^\circ \):

• \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \tan 45^\circ = 1\)

1. Найдем другой катет \( a \): \[ \tan 45^\circ = \frac{b}{a} \implies 1 = \frac{10}{a} \implies a = 10 \]
2. Найдем гипотенузу \( c \): \[ \sin 45^\circ = \frac{b}{c} \implies \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10}{c} \implies c = 10 \sqrt{2} \]

Ответ для a):

• \( a = 10 \)
• \( c = 10\sqrt{2} \)

б) \( b = 15 \), \( B = 60^\circ \)

При угле \( 60^\circ \):

• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)

1. Найдем другой катет \( a \): \[ \tan 60^\circ = \frac{b}{a} \implies \sqrt{3} = \frac{15}{a} \implies a = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \]
2. Найдем гипотенузу \( c \): \[ \sin 60^\circ = \frac{b}{c} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{c} \implies c = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \]

Ответ для б):

• \( a = 5\sqrt{3} \)
• \( c = 10\sqrt{3} \)

в) \( b = 3\sqrt{3} \), \( B = 30^\circ \)

При угле \( 30^\circ \):

• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

1. Найдем другой катет \( a \): \[ \tan 30^\circ = \frac{b}{a} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{a} \implies a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \]
2. Найдем гипотенузу \( c \): \[ \sin 30^\circ = \frac{b}{c} \implies \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{c} \implies c = 6\sqrt{3} \]

Ответ для в):

• \( a = 9 \)
• \( c = 6\sqrt{3} \)

Итог

1. \( a = 10 \), \( c = 10\sqrt{2} \) (при \( b = 10, B = 45^\circ \))
2. \( a = 5\sqrt{3} \), \( c = 10\sqrt{3} \) (при \( b = 15, B = 60^\circ \))
3. \( a = 9 \), \( c = 6\sqrt{3} \) (при \( b = 3\sqrt{3}, B = 30^\circ \))