MN = 3. NK = 5√2. Угол MNK = 45°. MK = ?

Для решения задачи, где у нас есть треугольник MNK с известными сторонами и углом, воспользуемся свойствами косинуса и синуса.

Данные:

• MN = 3
• NK = 5√2
• Угол MNK = 45°

Шаг 1: Применим теорему косинусов

В этой задаче мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где:

• \( c \) — сторона, противолежащая углу \( C \) (в нашем случае MK),
• \( a \) и \( b \) — остальные две стороны (MN и NK),
• \( C \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \).

В нашем случае:

• \( a = MN = 3 \)
• \( b = NK = 5\sqrt{2} \)
• \( C = 45° \)

Шаг 2: Подставим известные значения

Сначала найдем значение \( \cos(45°) \):

\[ \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим значения в теорему косинусов:

\[ MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos(MNK) \]

Подставляем значения:

\[ MK^2 = 3^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 3: Посчитаем каждую часть

1. \( MN^2 = 3^2 = 9 \)
2. \( NK^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \)
3. \( 2 \cdot 3 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1 = 30 \)

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:

\[ MK^2 = 9 + 50 - 30 \] \[ MK^2 = 29 \]

Шаг 4: Найдем значение MK

Чтобы найти MK, возьмём квадратный корень:

\[ MK = \sqrt{29} \]

Ответ:

Таким образом, длина стороны MK равна \( \sqrt{29} \).