Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие  � A: «при первом броске выпадет  2 2 очка» и событие  � B: «при втором броске выпадет больше  2 2 очков» Событие  � A: «при первом броске выпадет больше  2 2 очков» и событие  � B: «сумма выпавших очков равна  6 6» Событие  � A: «при первом броске выпадет  1 1 очко» и событие  � B: «хотя бы раз выпадет  3 3 очка» Событие  � A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и событие  � B: «при втором броске выпадет меньше  4 4 очков»

Для решения данной задачи нам нужно понять, что такое независимые события в теории вероятностей. Два события \( A \) и \( B \) называются независимыми, если вероятность их одновремного наступления равна произведению вероятностей каждого из них: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Теперь давайте рассмотрим каждую пару событий и проверим, независимы ли они. 1. **Событие \( A \)**: «при первом броске выпадет 2 очка» **Событие \( B \)**: «при втором броске выпадет больше 2 очков» - **Проверим независимость**: - Вероятность \( P(A) = \frac{1}{6} \) (в одном случае из шести). - Вероятность \( P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадение 3, 4, 5 или 6). - Ймовірність спільного виконання \( P(A \cap B) \) = вероятность того, что при первом броске выпадет 2 (это событие уже произошло), и при втором броске выпадет 3, 4, 5 или 6. То есть: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9}. \] - Таким образом, случайные события **независимы**. 2. **Событие \( A \)**: «при первом броске выпадет больше 2 очков» **Событие \( B \)**: «сумма выпавших очков равна 6» - **Проверим независимость**: - Вероятность \( P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадение 3, 4, 5 или 6). - Вероятность \( P(B) \) требует больше анализа. Например, возможные пары для суммы 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Из них, если первый бросок больше двух, нам подходят пары (3,3), (4,2), (5,1). - Переберем количество подходящих для события \( B \): всего 5 пар, 3 из которых подходят под условие \( A \). Таким образом, \( P(B) = \frac{5}{36} \). - Сложное событие и вероятности взаимосвязаны, и они **зависят** друг от друга. 3. **Событие \( A \)**: «при первом броске выпадет 1 очко» **Событие \( B \)**: «хотя бы раз выпадет 3 очка» - **Проверим независимость**: - Вероятность \( P(A) = \frac{1}{6} \). - \( B \) требует анализа. Если при первом броске выпадает 1, при втором броске мы можем получить 3 с вероятностью \( \frac{1}{6} \). Таким образом, \( P(B) = \frac{1}{6} \) (при условии, что первый бросок не повлияет на второй). - Однако вероятность сценария, когда 1 и 3 выпадают, изменяется. Поэтому, эти события **зависимы**. 4. **Событие \( A \)**: «при первом броске выпадет четное количество очков» **Событие \( B \)**: «при втором броске выпадет меньше 4 очков» - **Проверим независимость**: - \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (числа 2, 4, 6). - \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (числа 1, 2, 3). - События не влияют друг на друга, так как выбор на первом броске не влияет на выбор на втором (вероятности одинаковы). Таким образом, события **независимы**. Теперь подводим итог: - Пара \( (A,B) \) (1): независимы - Пара \( (A,B) \) (2): зависимы - Пара \( (A,B) \) (3): зависимы - Пара \( (A,B) \) (4): независимы Следовательно, независимыми являются: **пары 1 и 4**.