Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие � A : «при первом броске выпадет 2 2 очка» и событие � B : «при…

Для решения данной задачи нам нужно понять, что такое независимые события в теории вероятностей. Два события \( A \) и \( B \) называются независимыми, если вероятность их одновремного наступления равна произведению вероятностей каждого из них:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Теперь давайте рассмотрим каждую пару событий и проверим, независимы ли они.

1. Событие \( A \): «при первом броске выпадет 2 очка»
   Событие \( B \): «при втором броске выпадет больше 2 очков»

   • Проверим независимость:

     • Вероятность \( P(A) = \frac{1}{6} \) (в одном случае из шести).
     • Вероятность \( P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадение 3, 4, 5 или 6).
     • Ймовірність спільного виконання \( P(A \cap B) \) = вероятность того, что при первом броске выпадет 2 (это событие уже произошло), и при втором броске выпадет 3, 4, 5 или 6. То есть: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9}. \]

   • Таким образом, случайные события независимы.

2. Событие \( A \): «при первом броске выпадет больше 2 очков»
   Событие \( B \): «сумма выпавших очков равна 6»

   • Проверим независимость:
     • Вероятность \( P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадение 3, 4, 5 или 6).
     • Вероятность \( P(B) \) требует больше анализа. Например, возможные пары для суммы 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Из них, если первый бросок больше двух, нам подходят пары (3,3), (4,2), (5,1).
     • Переберем количество подходящих для события \( B \): всего 5 пар, 3 из которых подходят под условие \( A \). Таким образом, \( P(B) = \frac{5}{36} \).
     • Сложное событие и вероятности взаимосвязаны, и они зависят друг от друга.

3. Событие \( A \): «при первом броске выпадет 1 очко»
   Событие \( B \): «хотя бы раз выпадет 3 очка»

   • Проверим независимость:
     • Вероятность \( P(A) = \frac{1}{6} \).
     • \( B \) требует анализа. Если при первом броске выпадает 1, при втором броске мы можем получить 3 с вероятностью \( \frac{1}{6} \). Таким образом, \( P(B) = \frac{1}{6} \) (при условии, что первый бросок не повлияет на второй).
     • Однако вероятность сценария, когда 1 и 3 выпадают, изменяется. Поэтому, эти события зависимы.

4. Событие \( A \): «при первом броске выпадет четное количество очков»
   Событие \( B \): «при втором броске выпадет меньше 4 очков»

   • Проверим независимость:
     • \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (числа 2, 4, 6).
     • \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (числа 1, 2, 3).
     • События не влияют друг на друга, так как выбор на первом броске не влияет на выбор на втором (вероятности одинаковы). Таким образом, события независимы.

Теперь подводим итог:

• Пара \( (A,B) \) (1): независимы
• Пара \( (A,B) \) (2): зависимы
• Пара \( (A,B) \) (3): зависимы
• Пара \( (A,B) \) (4): независимы

Следовательно, независимыми являются: пары 1 и 4.