При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем  — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Для решения задачи, давайте сначала разберем понятия вероятности и условия задачи. В данной ситуации: - Вероятность уничтожения цели при первом выстреле: \( P_1 = 0.4 \) - Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле: \( P_{\text{доп}} = 0.6 \) Для того чтобы определить, сколько выстрелов потребуется, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98, мы можем использовать метод комбинаторного подхода к вероятности. ### Шаги решения: 1. **Вероятность уничтожения цели за n выстрелов:** - Если цель не была уничтожена при первом выстреле, вероятность этого: \( P_{\text{не убит}} = 1 - P_1 = 0.6 \). - Если цель была уничтожена при втором выстреле, это событие может быть представлено как: - Не уничтожение при первом выстреле (вероятность 0.6) и уничтожение при втором (вероятность 0.6). - То есть для 2 выстрелов: \( P_2 = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36 \). - Далее, для третьего выстрела и так далее, мы должны учесть, что до n-1 выстрелов цель не была уничтожена, а на n-ом выстреле она была уничтожена. 2. **Вероятность не уничтожения цели за n выстрелов:** - Для n выстрелов: \[ P_{\text{не убит н}} = (0.6)^{n - 1} \cdot (0.4) + (0.6)^n \] - Вероятность того, что цель будет уничтожена за n выстрелов: \[ P_{\text{убит н}} = 1 - P_{\text{не убит}} = 1 - (0.6)^{n - 1} \cdot (0.4) - (0.6)^n \] 3. **Условие задачи:** - Необходимо найти минимальное n такое, что \( P_{\text{убит н}} \geq 0.98 \). Теперь мы можем начать подставлять значения и находить необходимое количество выстрелов. ### Подбор значений n: 1. Подставим \( n = 1 \): \[ P_{\text{убит 1}} = 0.4 \quad (не хватает) \] 2. Подставим \( n = 2 \): \[ P_{\text{убит 2}} = 1 - (0.6)^{1} \cdot (0.4) - (0.6)^{2} \approx 0.64 \quad (не хватает) \] 3. Подставим \( n = 3 \): \[ P_{\text{убит 3}} = 1 - (0.6)^{2} \cdot (0.4) - (0.6)^{3} \approx 0.784 \quad (не хватает) \] 4. Подставим \( n = 4 \): \[ P_{\text{убит 4}} = 1 - (0.6)^{3} \cdot (0.4) - (0.6)^{4} \approx 0.8656 \quad (не хватает) \] 5. Подставим \( n = 5 \): \[ P_{\text{убит 5}} = 1 - (0.6)^{4} \cdot (0.4) - (0.6)^{5} \approx 0.92608 \quad (не хватает) \] 6. Подставим \( n = 6 \): \[ P_{\text{убит 6}} = 1 - (0.6)^{5} \cdot (0.4) - (0.6)^{6} \approx 0.951 \quad (не хватает) \] 7. Подставим \( n = 7 \): \[ P_{\text{убит 7}} = 1 - (0.6)^{6} \cdot (0.4) - (0.6)^{7} \approx 0.978 \quad (достаточно) \] 8. Подставим \( n = 8 \): \[ P_{\text{убит 8}} = 1 - (0.6)^{7} \cdot (0.4) - (0.6)^{8} \approx 0.9904 \quad (достаточно) \] ### Ответ: Минимальное количество выстрелов \( n \), необходимое, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98, составляет 7.