Внешний угол при одной из вершин равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите все стороны этого треугольника, если его периметр равен 12 см.
Чтобы решить эту задачу, начнем с разбора данных, которые нам предоставлены:
- У нас есть равнобедренный треугольник.
- Один из внешних углов треугольника равен 120°.
- Периметр треугольника составляет 12 см.
Шаг 1: Определим внутренние углы треугольника
Внешний угол равен 120°. Для треугольников существует свойство, что внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Следовательно, если обозначим внутренние углы треугольника как \(A\), \(A\) (так как это равнобедренный треугольник), и \(B\) (база), то мы можем записать:
\[ A + B = 120° \]
Также, по свойству треугольника:
\[ A + A + B = 180° \]
У нас есть система уравнений:
- \(2A + B = 180°\)
- \(A + B = 120°\)
Шаг 2: Решим систему уравнений
Теперь выразим \(B\) из второго уравнения:
\[ B = 120° - A \]
Подставим это значение \(B\) в первое уравнение:
\[ 2A + (120° - A) = 180° \]
Упростим:
\[ 2A - A + 120° = 180° \] \[ A + 120° = 180° \] \[ A = 60° \]
Теперь подставим \(A\) в уравнение, чтобы найти \(B\):
\[ B = 120° - 60° = 60° \]
Таким образом, все внутренние углы треугольника равны:
- \(A = 60°\)
- \(A = 60°\)
- \(B = 60°\)
То есть, наш треугольник — это равносторонний треугольник.
Шаг 3: Найдем стороны треугольника
Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны. Периметр равен 12 см. Обозначим сторону треугольника как \(a\).
Периметр равнобедренного треугольника рассчитывается как:
\[ P = 3a = 12 \text{ см} \]
Теперь из этого уравнения найдем сторону:
\[ a = \frac{12}{3} = 4 \text{ см} \]
Ответ
Таким образом, все стороны равнобедренного треугольника равны:
- \(a_1 = 4 \text{ см}\)
- \(a_2 = 4 \text{ см}\)
- \(a_3 = 4 \text{ см}\)
Следовательно, каждая сторона равята 4 см.
