Найдите скалярное произведение (a + 2Б)(а -б).
Чтобы найти скалярное (или внутреннее) произведение векторов \((a + 2b)\) и \((a - b)\), мы будем следовать нескольким шагам.
Шаг 1: Расписываем формулу скалярного произведения
Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, ...)\) и \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, ...)\) определяется как:
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... \]
В нашем случае вектор \((a + 2b)\) и вектор \((a - b)\) можно рассматривать с компонентами. Обычно векторы выражают как:
- \(\mathbf{u} = (x_1, y_1)\) — это компоненты первого вектора
- \(\mathbf{v} = (x_2, y_2)\) — это компоненты второго вектора
Шаг 2: Раскроем скобки
Сначала необходимо выразить каждый вектор:
\[ \mathbf{u} = a + 2b \]
\[ \mathbf{v} = a - b \]
Теперь мы можем использовать свойства распределительности.
Шаг 3: Вычисляем скалярное произведение
Раскроем скобки и перенесем каждый элемент в скалярное произведение:
\[ (a + 2b) \cdot (a - b) = a \cdot a + 2b \cdot a - a \cdot b - 2b \cdot b \]
Шаг 4: Применение свойств скалярного произведения
Скалярное произведение векторов имеет следующие свойства:
- \(a \cdot a = |a|^2\) (квадрат длины вектора)
- \(b \cdot b = |b|^2\)
- \(a \cdot b\) – это просто скалярное произведение этих двух векторов.
Подставляя это, мы получаем:
\[ (a + 2b) \cdot (a - b) = |a|^2 + 2(a \cdot b) - (a \cdot b) - 2|b|^2 \]
Шаг 5: Упрощение выражения
Теперь упростим:
\[ |a|^2 + 2(a \cdot b) - (a \cdot b) - 2|b|^2 = |a|^2 + (2 - 1)(a \cdot b) - 2|b|^2 \]
\[ = |a|^2 + (a \cdot b) - 2|b|^2 \]
Итог
Скалярное произведение \((a + 2b) \cdot (a - b)\) равно:
\[ |a|^2 + (a \cdot b) - 2|b|^2 \]
Это финальный результат. Если вам нужно больше информации или помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
