Найдите скалярное произведение (a + 2Б)(а -б).

Чтобы найти скалярное (или внутреннее) произведение векторов \((a + 2b)\) и \((a - b)\), мы будем следовать нескольким шагам. ### Шаг 1: Расписываем формулу скалярного произведения Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, ...)\) и \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, ...)\) определяется как: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... \] В нашем случае вектор \((a + 2b)\) и вектор \((a - b)\) можно рассматривать с компонентами. Обычно векторы выражают как: - \(\mathbf{u} = (x_1, y_1)\) — это компоненты первого вектора - \(\mathbf{v} = (x_2, y_2)\) — это компоненты второго вектора ### Шаг 2: Раскроем скобки Сначала необходимо выразить каждый вектор: \[ \mathbf{u} = a + 2b \] \[ \mathbf{v} = a - b \] Теперь мы можем использовать свойства распределительности. ### Шаг 3: Вычисляем скалярное произведение Раскроем скобки и перенесем каждый элемент в скалярное произведение: \[ (a + 2b) \cdot (a - b) = a \cdot a + 2b \cdot a - a \cdot b - 2b \cdot b \] ### Шаг 4: Применение свойств скалярного произведения Скалярное произведение векторов имеет следующие свойства: 1. \(a \cdot a = |a|^2\) (квадрат длины вектора) 2. \(b \cdot b = |b|^2\) 3. \(a \cdot b\) – это просто скалярное произведение этих двух векторов. Подставляя это, мы получаем: \[ (a + 2b) \cdot (a - b) = |a|^2 + 2(a \cdot b) - (a \cdot b) - 2|b|^2 \] ### Шаг 5: Упрощение выражения Теперь упростим: \[ |a|^2 + 2(a \cdot b) - (a \cdot b) - 2|b|^2 = |a|^2 + (2 - 1)(a \cdot b) - 2|b|^2 \] \[ = |a|^2 + (a \cdot b) - 2|b|^2 \] ### Итог Скалярное произведение \((a + 2b) \cdot (a - b)\) равно: \[ |a|^2 + (a \cdot b) - 2|b|^2 \] Это финальный результат. Если вам нужно больше информации или помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!