1.упростить и найти значение выражений а)sin210°•cos135°•tg390°•ctg300° б). sin(п-п/4)•tg(п+п/4)/cos(п-п/4)•ctg(3п/2+п/4). 2.доказать sin(а+в)+sin(а-в)=2sina•cosв. 3.найти а)cos2a…

Давайте разберем вашу задачу по шагам.

Задача 1

a) Упростить и найти значение выражений \( \sin 210° \cdot \cos 135° \cdot \tan 390° \cdot \cot 300° \)

1. Найдём каждую тригонометрическую функцию:

   • \( \sin 210° \)
     • Это угол в третьей четверти. \( \sin 210° = -\frac{1}{2} \).
   • \( \cos 135° \)
     • Это угол в второй четверти. \( \cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
   • \( \tan 390° \)
     • \( 390° - 360° = 30° \), поэтому \( \tan 390° = \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
   • \( \cot 300° \)
     • Это угол в четвертой четверти. \( \cot 300° = \frac{1}{\tan 300°} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3} \).

2. Теперь подставим значения: \[ \sin 210° \cdot \cos 135° \cdot \tan 390° \cdot \cot 300° = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\sqrt{3}) \]

3. Упростим: \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

б) Упростить и найти значение выражения \( \frac{\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) \cdot \tan(\pi + \frac{\pi}{4})}{\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) \cdot \cot(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} \)

1. Найдём каждую тригонометрическую функцию:

   • \( \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \)
   • \( \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \cot(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \cot(\frac{3\pi}{2}) = 0 \), так как тангенс в этой точке не существует.

2. Теперь подставим значения: \[ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1}{(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 0} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{0} \] Так как деление на ноль невозможно, выражение не имеет решения (undefined).

Задача 2

Доказать, что \( \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b \)

1. Используем формулы сложения:

   • \( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
   • \( \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \)

2. Сложим эти два выражения: \[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) + (\sin a \cos b - \cos a \sin b) \]

   • \( = 2 \sin a \cos b \) (поскольку \(\cos a \sin b\) и \(-\cos a \sin b\) сокращаются).

Таким образом, утверждение верно.

Задача 3

а) Найти \( \cos 2a \) и \( \sin 2a \), если \( \cos a = \frac{3}{5} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \)

1. Найдём \( \sin a \) с использованием формулы \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \): \[ \sin^2 a = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \sin a = -\frac{4}{5} \] (потому что \( a \) в четвертой четверти, где синус отрицательный).

2. Используем формулы для \( \cos 2a \) и \( \sin 2a \): \[ \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 = 2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25} \] \[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} \]

б) Найти \( \sin \frac{a}{2} \) и \( \cos \frac{a}{2} \), если \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( a \in \) 3 четверти.

1. Найдём \( \cos a \): \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \implies \cos a = -\frac{1}{2} \] (потому что \( a \) в третьей четверти).

2. Используем формулы для половинного угла: \[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

   (Мы берём положительное значение, так как \( a/2 \) будет во второй четверти.)

3. Для \( \cos \frac{a}{2} \): \[ \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1/2}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, мы получили все необходимые различия и значения тригонометрических функций.