найдите указанные производные y=x6+5x4-6x;y'''(1);y'''(2)
Для нахождения производной функции \( y = x^6 + 5x^4 - 6x \), начнем с того, что найдем первую, вторую и третью производные.
Шаг 1: Первая производная \( y' \)
Чтобы найти первую производную, используем правило дифференцирования для степенной функции \( x^n \), которое гласит, что производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^6) + \frac{d}{dx}(5x^4) - \frac{d}{dx}(6x) \]
- Для \( x^6 \): \( \frac{d}{dx}(x^6) = 6x^5 \)
- Для \( 5x^4 \): \( \frac{d}{dx}(5x^4) = 20x^3 \)
- Для \( -6x \): \( \frac{d}{dx}(-6x) = -6 \)
Теперь складываем:
\[ y' = 6x^5 + 20x^3 - 6 \]
Шаг 2: Вторая производная \( y'' \)
Теперь найдем вторую производную, используя ту же методику:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^5) + \frac{d}{dx}(20x^3) - \frac{d}{dx}(6) \]
- Для \( 6x^5 \): \( \frac{d}{dx}(6x^5) = 30x^4 \)
- Для \( 20x^3 \): \( \frac{d}{dx}(20x^3) = 60x^2 \)
- Для \( -6 \): производная константы равна 0.
Теперь складываем:
\[ y'' = 30x^4 + 60x^2 \]
Шаг 3: Третья производная \( y''' \)
Теперь найдем третью производную:
\[ y''' = \frac{d}{dx}(30x^4) + \frac{d}{dx}(60x^2) \]
- Для \( 30x^4 \): \( \frac{d}{dx}(30x^4) = 120x^3 \)
- Для \( 60x^2 \): \( \frac{d}{dx}(60x^2) = 120x \)
Теперь складываем:
\[ y''' = 120x^3 + 120x \]
Шаг 4: Вычисление \( y'''(1) \) и \( y'''(2) \)
Теперь подставим \( x = 1 \) и \( x = 2 \) в третью производную.
- Для \( y'''(1) \):
\[ y'''(1) = 120(1)^3 + 120(1) = 120 \cdot 1 + 120 \cdot 1 = 120 + 120 = 240 \]
- Для \( y'''(2) \):
\[ y'''(2) = 120(2)^3 + 120(2) = 120 \cdot 8 + 120 \cdot 2 = 960 + 240 = 1200 \]
Ответ:
- \( y'''(1) = 240 \)
- \( y'''(2) = 1200 \)
Это и есть искомые значения третьей производной функции \( y \) в точках \( x = 1 \) и \( x = 2 \).
