решение график функции у - х2 + 2х +3
Чтобы решить задачу построения графика функции \( y = -x^2 + 2x + 3 \), давайте пройдемся по всем шагам.
Шаг 1: Определение типа функции
Это квадратная функция (парабола) вида \( y = ax^2 + bx + c \), где:
- \( a = -1 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
- \( b = 2 \) (коэффициент при \( x \)),
- \( c = 3 \) (свободный член).
Так как \( a < 0 \), парабола будет открыта вниз.
Шаг 2: Нахождение вершины параболы
Вершина параболы определяется по формуле:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]
Теперь подставим \( x_v \) обратно в уравнение функции, чтобы найти координату \( y \):
\[ y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 \] \[ y_v = -1 + 2 + 3 = 4 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 4) \).
Шаг 3: Находим пересечения с осью Y
Чтобы найти пересечение с осью Y, подставим \( x = 0 \):
\[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3 \]
Точка пересечения с осью Y — это \( (0, 3) \).
Шаг 4: Находим пересечения с осью X
Чтобы найти пересечения с осью X, решим уравнение \( y = 0 \):
\[ 0 = -x^2 + 2x + 3 \]
Переписываем уравнение:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Теперь решим его через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Так как дискриминант положительный, у нас два корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]
Таким образом, точки пересечения с осью X — это \( (3, 0) \) и \( (-1, 0) \).
Шаг 5: Построение графика
Теперь мы имеем все необходимые точки для построения графика:
- Вершина: \( (1, 4) \)
- Пересечение с осью Y: \( (0, 3) \)
- Пересечения с осью X: \( (3, 0) \) и \( (-1, 0) \)
С точки (1, 4) может быть изображен график, который идет вниз к точкам пересечения с осями X и Y, создавая параболу.
Шаг 6: Окончательные замечания
График функции \( y = -x^2 + 2x + 3 \) представляет собой параболу, открытая вниз. Он имеет максимальное значение в вершине, а также пересечения с осями, что позволяет легко его нарисовать. Если у вас возникли вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!
