Отрезок FA - диаметр сферы. определи радиус сферы R и напиши уравнение сферы, если даны координаты точек F(3;2;1) и A(1;2;3)
Для решения данной задачи начнем с определения радиуса сферы, зная, что отрезок FA – это диаметр сферы.
Шаг 1: Найдем длину отрезка FA
Длина отрезка между двумя точками \( F(x_1, y_1, z_1) \) и \( A(x_2, y_2, z_2) \) в пространстве вычисляется по формуле:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Подставляем координаты точек \( F(3, 2, 1) \) и \( A(1, 2, 3) \):
- \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 2 \), \( z_1 = 1 \)
- \( x_2 = 1 \), \( y_2 = 2 \), \( z_2 = 3 \)
Теперь подставим эти координаты в формулу:
\[ d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 1)^2} \]
Выражаем:
\[ d = \sqrt{(-2)^2 + (0)^2 + (2)^2} \] \[ d = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Шаг 2: Найдем радиус сферы
Поскольку отрезок FA является диаметром сферы, радиус \( R \) равен половине длины диаметра:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
Шаг 3: Определим центр сферы
Центр сферы находится посередине отрезка FA. Для этого используем формулу для нахождения средней точки:
\[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]
Подставим координаты точек F и A:
\[ C\left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = C\left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right) = C(2, 2, 2) \]
Шаг 4: Напишем уравнение сферы
Уравнение сферы в пространстве имеет вид:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \]
где \( (x_0, y_0, z_0) \) – координаты центра сферы, а \( R \) – радиус. Подставим наши значения:
- Центр: \( C(2, 2, 2) \)
- Радиус: \( R = \sqrt{2} \)
Подставляем в уравнение:
\[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 \]
Таким образом, уравнение сферы будет:
\[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2 \]
Результат:
- Радиус сферы \( R = \sqrt{2} \).
- Уравнение сферы: \( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2 \).
Теперь у вас есть все необходимые данные для выполнения задачи! Если возникли вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
