Для решения данной задачи начнем с определения радиуса сферы, зная, что отрезок FA – это диаметр сферы.
Шаг 1: Найдем длину отрезка FA
Длина отрезка между двумя точками ( F(x_1, y_1, z_1) ) и ( A(x_2, y_2, z_2) ) в пространстве вычисляется по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
]
Подставляем координаты точек ( F(3, 2, 1) ) и ( A(1, 2, 3) ):
- ( x_1 = 3 ), ( y_1 = 2 ), ( z_1 = 1 )
- ( x_2 = 1 ), ( y_2 = 2 ), ( z_2 = 3 )
Теперь подставим эти координаты в формулу:
[
d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 1)^2}
]
Выражаем:
[
d = \sqrt{(-2)^2 + (0)^2 + (2)^2}
]
[
d = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Шаг 2: Найдем радиус сферы
Поскольку отрезок FA является диаметром сферы, радиус ( R ) равен половине длины диаметра:
[
R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
]
Шаг 3: Определим центр сферы
Центр сферы находится посередине отрезка FA. Для этого используем формулу для нахождения средней точки:
[
C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)
]
Подставим координаты точек F и A:
[
C\left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = C\left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right) = C(2, 2, 2)
]
Шаг 4: Напишем уравнение сферы
Уравнение сферы в пространстве имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
]
где ( (x_0, y_0, z_0) ) – координаты центра сферы, а ( R ) – радиус. Подставим наши значения:
- Центр: ( C(2, 2, 2) )
- Радиус: ( R = \sqrt{2} )
Подставляем в уравнение:
[
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{2})^2
]
Таким образом, уравнение сферы будет:
[
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2
]
Результат:
- Радиус сферы ( R = \sqrt{2} ).
- Уравнение сферы: ( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2 ).
Теперь у вас есть все необходимые данные для выполнения задачи! Если возникли вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
