В группе волонтёров 40 чел., из них девочек - 20 чел. С помощью жребия выбирают группу для расклейки листовок. Их количество составляет 3 чел. Найди вероятность того, что все…

Чтобы решить задачу о вероятности того, что все выбранные в жребии окажутся мальчиками, давайте пройдемся по шагам.

1. Определим начальные данные:

   • Общее количество волонтёров \( N = 40 \).
   • Количество девочек \( D = 20 \).
   • Количество мальчиков \( M = N - D = 40 - 20 = 20 \).

2. Определим количество выбираемых волонтёров:

   • Количество выбираемых волонтёров \( k = 3 \).

3. Вероятность выборки: Мы хотим найти вероятность того, что все выбранные волонтёры будут мальчиками.

4. Общее количество способов выбрать 3 волонтёра из 40: Мы можем использовать комбинаторику, в частности формулу биномиальных коэффициентов, для вычисления количества способов выбрать \( k \) участников из \( N \): \[ C(N, k) = \frac{N!}{k! \cdot (N - k)!} \] В нашем случае: \[ C(40, 3) = \frac{40!}{3! \cdot (40 - 3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880 \]

5. Количество способов выбрать 3 мальчиков из 20: Аналогично, мы можем вычислить количество способов выбрать 3 мальчиков: \[ C(M, k) = C(20, 3) = \frac{20!}{3! \cdot (20 - 3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \]

6. Вычисляем вероятность: Вероятность того, что все три выбранных будут мальчиками, можно найти, разделив количество способов выбрать мальчиков на общее количество способов выбрать волонтёров: \[ P(\text{все мальчики}) = \frac{C(20, 3)}{C(40, 3)} = \frac{1140}{9880} \] Упростим дробь: \[ P(\text{все мальчики}) = \frac{1140 \div 1140}{9880 \div 1140} = \frac{1}{8.68} \approx 0.115 \]

   Теперь упростим дробь: \[ \frac{1140}{9880} = \frac{57}{494} \]

7. Подводим итог: Вероятность того, что все три выбранных волонтёра окажутся мальчиками, составляет \( \frac{57}{494} \) или примерно \( 0.115 \) (или 11.5%).

Таким образом, при случайном выборе трёх волонтёров вероятность того, что все окажутся мальчиками, составляет примерно 11.5%.