2 sin a +√2 cos a

Чтобы упростить выражение \(2 \sin a + \sqrt{2} \cos a\), мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими свойствами. Давайте разберём это по шагам. ### Шаг 1: Приведение к общему виду Выражение \(2 \sin a + \sqrt{2} \cos a\) можно представить в виде \(R \sin(a + \phi)\), где \(R\) — это некое значение, а \(\phi\) — угол, который нам нужно определить. ### Шаг 2: Определение \(R\) Для этого сначала найдем \(R\): \[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \] где \(A = 2\) (коэффициент при \(\sin a\)) и \(B = \sqrt{2}\) (коэффициент при \(\cos a\)). Теперь подставим значения: \[ R = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6} \] ### Шаг 3: Определение угла \(\phi\) Теперь нам нужно найти угол \(\phi\), используя соотношения: \[ \cos \phi = \frac{B}{R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ \sin \phi = \frac{A}{R} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] ### Шаг 4: Проверка значений Для нахождения угла \(\phi\) можно воспользоваться арктангенсом: \[ \tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \] Так что \(\phi\) соответствует углу, при котором \(\tan \phi = \sqrt{2}\). ### Шаг 5: Запись финального результата Теперь мы можем записать исходное выражение в виде: \[ 2 \sin a + \sqrt{2} \cos a = \sqrt{6} \sin \left(a + \phi \right) \] Таким образом, ваша упрощённая форма выражения — это: \[ 2 \sin a + \sqrt{2} \cos a = \sqrt{6} \sin \left(a + \phi\right), \quad \text{где } \phi = \arctan(\sqrt{2}) \] Это позволяет увидеть, как это выражение можно трактовать через синус с изменённым аргументом, что может быть полезно в таких задачах, как интегрирование или нахождение экстремумов функции.