2 sin a +√2 cos a

Чтобы упростить выражение \(2 \sin a + \sqrt{2} \cos a\), мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими свойствами. Давайте разберём это по шагам.

Шаг 1: Приведение к общему виду

Выражение \(2 \sin a + \sqrt{2} \cos a\) можно представить в виде \(R \sin(a + \phi)\), где \(R\) — это некое значение, а \(\phi\) — угол, который нам нужно определить.

Шаг 2: Определение \(R\)

Для этого сначала найдем \(R\):

\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]

где \(A = 2\) (коэффициент при \(\sin a\)) и \(B = \sqrt{2}\) (коэффициент при \(\cos a\)).

Теперь подставим значения:

\[ R = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6} \]

Шаг 3: Определение угла \(\phi\)

Теперь нам нужно найти угол \(\phi\), используя соотношения:

\[ \cos \phi = \frac{B}{R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ \sin \phi = \frac{A}{R} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Шаг 4: Проверка значений

Для нахождения угла \(\phi\) можно воспользоваться арктангенсом:

\[ \tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \]

Так что \(\phi\) соответствует углу, при котором \(\tan \phi = \sqrt{2}\).

Шаг 5: Запись финального результата

Теперь мы можем записать исходное выражение в виде:

\[ 2 \sin a + \sqrt{2} \cos a = \sqrt{6} \sin \left(a + \phi \right) \]

Таким образом, ваша упрощённая форма выражения — это:

\[ 2 \sin a + \sqrt{2} \cos a = \sqrt{6} \sin \left(a + \phi\right), \quad \text{где } \phi = \arctan(\sqrt{2}) \]

Это позволяет увидеть, как это выражение можно трактовать через синус с изменённым аргументом, что может быть полезно в таких задачах, как интегрирование или нахождение экстремумов функции.