Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи, начнем с того, что мы имеем квадратную зависимость поступлений налогов от ставки налога. Обозначим ставку налога как \( x \) в процентах, а поступления в бюджет как \( y \) в миллиардах фантиков. Данные, которые у нас есть, можно записать в виде точек:
- \( (10, 1.3) \)
- \( (33, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
Поскольку зависимость квадратичная, можно записать ее в общем виде: \[ y = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \), и \( c \) – некоторые коэффициенты, которые нам нужно будет определить.
Шаг 1: Составление системы уравнений
Используя три точки, мы можем составить систему уравнений. Подставим значения точек в уравнение:
Для \( x = 10 \): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \] \[ 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1) \]
Для \( x = 33 \): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \] \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (2) \]
Для \( x = 27 \): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \] \[ 1.6 = 729a + 27b + c \quad (3) \]
Шаг 2: Упростим систему
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \)
Можно вычесть уравнения, чтобы избавиться от \( c \).
Вычтем (1) из (2): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Теперь вычтем (1) из (3): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Шаг 3: Решение системы (4) и (5)
Теперь у нас есть две переменные и два уравнения. Из (4) можно выразить \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Умножим все на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \] \[ 14567a - 16813a = 6.9 \] \[ -2246a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307 \]
Теперь подставим значение \( a \) в (4), чтобы найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} \left(-\frac{6.9}{2246}\right) \] После подсчетов получим значение \( b \).
Шаг 4: Находим \( c \)
Подставим найденные \( a \) и \( b \) в одно из начальных уравнений, чтобы найти \( c \).
Шаг 5: Находим максимальную ставку налога
Формула для нахождения максимума квадратичной функции: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
После нахождения \( a \) и \( b \), подставьте их значения и вычислите \( x_{max} \).
Заключение
После всех расчетов можете найти, что максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов будет равна (в процентах) требуемому значению, которое является решением данной задачи.
