Из маленьких кубиков собрали параллелепипед. Его покрасили со всех сторон? Когда краска высохла, его свона разобрали на кубики. Сколько получилось кубиков, у которых окрашены одна или две грани?

Давайте разберем задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Понимание параллелепипеда Параллелепипед — это объемная фигура, имеющая шесть граней, каждая из которых является параллелограммом (в случае прямолинейного параллелепипеда — прямоугольником). Если мы собираем параллелепипед из маленьких кубиков, то важно учитывать, сколько кубиков находится на гранях, а сколько внутри. ### Шаг 2: Определение окрашенных кубиков Когда параллелепипед окрашен со всех сторон, краска попадает только на кубики, которые находятся на его внешних гранях. Мы хотим выяснить, сколько из этих кубиков имеют окрашенные одну или две грани. ### Шаг 3: Рассмотрим ситуации 1. **Кубики с одной окрашенной гранью**: Эти кубики располагаются на гранях параллелепипеда, но не на краях (углах) и не на ребрах. Например, если у нас есть параллелепипед размером \(a \times b \times c\) (где \(a\), \(b\) и \(c\) — количество кубиков по длине, ширине и высоте), то количество кубиков с одной окрашенной гранью можно определить следующим образом: - На каждой грани размером \(a \times b\) (с высотой \(c\)) будет \((a - 2) \times (b - 2)\) кубиков, окрашенных с одной стороны, если \(a\) и \(b\) больше 2. - Аналогично, для граней размером \(a \times c\) — \((a - 2) \times (c - 2)\) и для \(b \times c\) — \((b - 2) \times (c - 2)\). С учетом всех граней, общее количество кубиков с одной окрашенной гранью: \[ N_1 = 2 \cdot ( (a - 2)(b - 2) + (a - 2)(c - 2) + (b - 2)(c - 2) ) \] (Умножаем на 2, потому что у каждой пары граней есть две соответствующие стороны.) 2. **Кубики с двумя окрашенными гранями**: Эти кубики располагаются на ребрах параллелепипеда, но не на углах (для ребер). На каждое ребро параллелепипеда длиной \(c\) (например, в случае ребра между гранью \(a \times b\) и гранью \(a \times c\)) будет \(c - 2\) кубиков не считая кубиков на концах. Для 12 ребер: \[ N_2 = 12 \cdot (a - 2) + 12 \cdot (b - 2) + 12 \cdot (c - 2) \] ### Шаг 4: Подсчет Теперь давайте подытожим: - \(N_1\) — количество кубиков с одной окрашенной грани. - \(N_2\) — количество кубиков с двумя окрашенными гранями. ### Пример Допустим, у нас есть параллелепипед размером \(4 \times 3 \times 2\). 1. **Кубики с одной окрашенной гранью**: \[ N_1 = 2 \cdot ((4 - 2)(3 - 2) + (4 - 2)(2 - 2) + (3 - 2)(2 - 2)) = 2 \cdot ((2)(1) + (2)(0) + (1)(0)) = 2 \cdot 2 = 4 \] 2. **Кубики с двумя окрашенными гранями**: \[ N_2 = 4 \cdot (3 - 2) + 4 \cdot (2 - 2) + 3 \cdot (2 - 2) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 4 \] В итоге, сумма кол-ва кубиков: \[ N = N_1 + N_2 = 4 + 4 = 8 \] Таким образом, из кубиков параллелепипеда, окрашенного со всех сторон, в данном примере получается 8 кубиков с одной или двумя окрашенными гранями.