Цилиндрический предмет малой высоты плавает на поверхности жидкости, которая находится в ёмкости. На одной вертикальной линии с центром предмета на глубине 30 см расположен точечный источник света S (рис. 1). Найди минимальное значение диаметра предмета, при котором, если рассматривать сверху поверхность жидкости, источник света не виден. Справочные данные: абсолютный показатель преломления жидкости - 1,333.

Для решения задачи начнём с того, что нам дан цилиндрический предмет, который плавает на поверхности жидкости. Мы ищем минимальный диаметр предмета, при котором источник света не будет виден с поверхности. ### Шаг 1: Понимание условий задачи 1. **Геометрия проблемы**: У нас есть точечный источник света S, расположенный на глубине 30 см в жидкости с показателем преломления \( n = 1,333 \). 2. **Процесс преломления света**: Свет, исходящий от источника S, при попадании на границу между жидкостью и воздухом преломляется. Чтобы мы не видели источник света, преломленный свет должен не достигать границы, окружающей предмет. ### Шаг 2: Применение закона Снеллиуса Закон Снеллиуса описывает, как свет преломляется при переходе между двумя средами с разными показателями преломления. Он формулируется следующим образом: \[ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) \] Где: - \( n_1 \) — показатель преломления жидкости (1,333). - \( n_2 \) — показатель преломления воздуха (приблизительно 1,0). - \( \theta_1 \) — угол падения в жидкости. - \( \theta_2 \) — угол преломления в воздухе. ### Шаг 3: Максимальный угол падения Чтобы источник света не был виден, мы должны найти максимальный угол падения \( \theta_1 \) для которого свет все еще выходит на поверхность. Углом полного внутреннего отражения будет: \[ \sin(\theta_{\text{max}}) = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.0}{1.333} \approx 0.75 \] Отсюда: \[ \theta_{\text{max}} = \arcsin(0.75) \approx 48.6^\circ \] ### Шаг 4: Геометрия видимости Из геометрии видно, что радиус видимости источника света будет определяться тем, на каком расстоянии от вертикали будет находиться предмет. Поскольку минимальное значение диаметра предмета требуется, нам необходимо рассчитать расстояние от источника света до края предмета на поверхности жидкости: - На основании угла \( \theta_{\text{max}} \) можем использовать тангенс этого угла. Используя прямоугольный треугольник: \[ \tan(\theta_{\text{max}}) = \frac{h}{d} \] где: - \( h = 30 \) см — глубина, на которой находится источник. - \( d \) — расстояние от вертикали к краю базы цилиндрического предмета. Следовательно, можем выразить \( d \): \[ d = h \cdot \tan(\theta_{\text{max}}) = 30 \cdot \tan(48.6^\circ) \] Согласно табличным значениям, \( \tan(48.6^\circ) \approx 1.14 \): \[ d \approx 30 \cdot 1.14 \approx 34.2 \text{ см} \] ### Шаг 5: Вычисление диаметра Так как расстояние \( d \) — это половина диаметра предмета, минимальный диаметр \( D \) цилиндрического изделия равен: \[ D \approx 2 \cdot d \approx 2 \cdot 34.2 \approx 68.4 \text{ см} \] ### Заключение Таким образом, минимальное значение диаметра предмета, при котором источник света не виден с поверхности жидкости, составляет примерно 68.4 см.