Вариант І 1. Преобразовать в многочлен: a) (a + 5) ^ 2 в) (2b - 1)(2b + 1) б) (3y - x) ^ 2 г) (4a + 3b)(4a - 3b) 2. Разложить на множители: a) b ^ 2 - 16 в) 49a ^ 2 * b ^ 4 - 100c…

Давайте разберём вашу задачу пошагово.

1. Преобразование в многочлен

a) \((a + 5)^2\)

Используем формулу квадрата суммы: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Где \(a = a\) и \(b = 5\): \[ (a + 5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25 \]

б) \((2b - 1)(2b + 1)\)

Это форма разности квадратов: \[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \] Где \(a = 2b\) и \(b = 1\): \[ (2b - 1)(2b + 1) = (2b)^2 - 1^2 = 4b^2 - 1 \]

в) \((3y - x)^2\)

Используем ту же формулу квадрата суммы: \[ (3y - x)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot x + x^2 = 9y^2 - 6xy + x^2 \]

г) \((4a + 3b)(4a - 3b)\)

Это также форма разности квадратов: \[ (4a + 3b)(4a - 3b) = (4a)^2 - (3b)^2 = 16a^2 - 9b^2 \]

2. Разложение на множители

a) \(b^2 - 16\)

Это разность квадратов: \[ b^2 - 16 = (b - 4)(b + 4) \]

б) \(49a^2 b^4 - 100c^4\)

Это также разность квадратов: \[ 49a^2 b^4 - 100c^4 = (7ab^2 - 10c)(7ab^2 + 10c) \]

в) \(a^2 + 6a + 9\)

Это полный квадрат: \[ a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2 \]

г) \((x + 1)^2 + (x - 1)^2\)

Мы можем упростить это выражение: \[ (x + 1)^2 + (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + 2 \]

3. Упрощение выражения

\[ (a - 3)^2 - 3a(a - 2) \] Сначала раскроем скобки: \[ (a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9 \] \[ -3a(a - 2) = -3a^2 + 6a \] Теперь подставляем в исходное выражение: \[ a^2 - 6a + 9 - 3a^2 + 6a = -2a^2 + 9 \]

4. Решение уравнения

a) \((x - 3)^2 - x(x + 2.7) = 9\)

Сначала раскроем скобки: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] \[ -x(x + 2.7) = -x^2 - 2.7x \] Подставляем: \[ x^2 - 6x + 9 - x^2 - 2.7x = 9 \] Упрощаем: \[ -8.7x + 9 = 9 \] Решаем уравнение: \[ -8.7x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

б) \(9y^2 - 25 = 0\)

Решаем это уравнение: \[ 9y^2 = 25 \implies y^2 = \frac{25}{9} \implies y = \pm \frac{5}{3} \]

5. Выполнение действий

a) \((x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)\)

Сначала умножим \((x - 1)(x + 1)\): \[ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \] Теперь умножаем: \[ (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1 \]

б) \((3a^2 - 6b^2)(3a^2 + 6b^2)\)

Это снова разность квадратов: \[ (3a^2)^2 - (6b^2)^2 = 9a^4 - 36b^4 \]

6. Докажите неравенство: \(9x^2 + y^2 > 6xy - 3\)

Переносим все в одну сторону: \[ 9x^2 + y^2 - 6xy + 3 > 0 \] Это можно переписать как: \[ 9x^2 - 6xy + y^2 + 3 > 0 \] Упрощать это неравенство можно, анализируя его как квадратное по \(y\): \[ (3x - y)^2 + 3 > 0 \] Так как \((3x - y)^2 \geq 0\) для всех \(x\) и \(y\), то \( (3x - y)^2 + 3 > 0\) всегда выполняется.

Таким образом, неравенство верно.