Давайте разберём вашу задачу пошагово.
1. Преобразование в многочлен
a) ((a + 5)^2)
Используем формулу квадрата суммы:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Где (a = a) и (b = 5):
[
(a + 5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25
]
б) ((2b - 1)(2b + 1))
Это форма разности квадратов:
[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
]
Где (a = 2b) и (b = 1):
[
(2b - 1)(2b + 1) = (2b)^2 - 1^2 = 4b^2 - 1
]
в) ((3y - x)^2)
Используем ту же формулу квадрата суммы:
[
(3y - x)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot x + x^2 = 9y^2 - 6xy + x^2
]
г) ((4a + 3b)(4a - 3b))
Это также форма разности квадратов:
[
(4a + 3b)(4a - 3b) = (4a)^2 - (3b)^2 = 16a^2 - 9b^2
]
2. Разложение на множители
a) (b^2 - 16)
Это разность квадратов:
[
b^2 - 16 = (b - 4)(b + 4)
]
б) (49a^2 b^4 - 100c^4)
Это также разность квадратов:
[
49a^2 b^4 - 100c^4 = (7ab^2 - 10c)(7ab^2 + 10c)
]
в) (a^2 + 6a + 9)
Это полный квадрат:
[
a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2
]
г) ((x + 1)^2 + (x - 1)^2)
Мы можем упростить это выражение:
[
(x + 1)^2 + (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + 2
]
3. Упрощение выражения
[
(a - 3)^2 - 3a(a - 2)
]
Сначала раскроем скобки:
[
(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9
]
[
-3a(a - 2) = -3a^2 + 6a
]
Теперь подставляем в исходное выражение:
[
a^2 - 6a + 9 - 3a^2 + 6a = -2a^2 + 9
]
4. Решение уравнения
a) ((x - 3)^2 - x(x + 2.7) = 9)
Сначала раскроем скобки:
[
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
]
[
-x(x + 2.7) = -x^2 - 2.7x
]
Подставляем:
[
x^2 - 6x + 9 - x^2 - 2.7x = 9
]
Упрощаем:
[
-8.7x + 9 = 9
]
Решаем уравнение:
[
-8.7x = 0 \Rightarrow x = 0
]
б) (9y^2 - 25 = 0)
Решаем это уравнение:
[
9y^2 = 25 \implies y^2 = \frac{25}{9} \implies y = \pm \frac{5}{3}
]
5. Выполнение действий
a) ((x^2 + 1)(x - 1)(x + 1))
Сначала умножим ((x - 1)(x + 1)):
[
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
]
Теперь умножаем:
[
(x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1
]
б) ((3a^2 - 6b^2)(3a^2 + 6b^2))
Это снова разность квадратов:
[
(3a^2)^2 - (6b^2)^2 = 9a^4 - 36b^4
]
6. Докажите неравенство: (9x^2 + y^2 > 6xy - 3)
Переносим все в одну сторону:
[
9x^2 + y^2 - 6xy + 3 > 0
]
Это можно переписать как:
[
9x^2 - 6xy + y^2 + 3 > 0
]
Упрощать это неравенство можно, анализируя его как квадратное по (y):
[
(3x - y)^2 + 3 > 0
]
Так как ((3x - y)^2 \geq 0) для всех (x) и (y), то ( (3x - y)^2 + 3 > 0) всегда выполняется.
Таким образом, неравенство верно.
