В ящике 12 белых и 18 черных шаров. Произвольным образом извлекают 5 шаров. какова вероятность того, что среди этих шаров не менее трёх белых

Чтобы решить задачу о вероятности, начнем с определения всех необходимых шагов. 1. **Определим общее количество шаров:** - Всего белых шаров: 12 - Всего черных шаров: 18 - Общее количество шаров: 12 + 18 = 30 2. **Событие, которое мы хотим рассмотреть:** - Нам нужно найти вероятность того, что среди 5 извлеченных шаров будет не менее 3 белых. Это значит, что возможны следующие случаи: - 3 белых и 2 черных - 4 белых и 1 черный - 5 белых 3. **Используем формулу вероятности:** Вероятность события определяется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. 4. **Общее количество способов выбрать 5 шаров из 30:** Это можно найти с помощью комбинаторики: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов. В нашем случае: \[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} \] 5. **Считаем количество благоприятных исходов для каждого случая:** - **Случай 1: 3 белых и 2 черных** - Количество способов выбрать 3 белых из 12: \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220 \] - Количество способов выбрать 2 черных из 18: \[ C(18, 2) = \frac{18!}{2!(18-2)!} = 153 \] - Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 3) \times C(18, 2) = 220 \times 153 = 33660 \] - **Случай 2: 4 белых и 1 черный** - Количество способов выбрать 4 белых из 12: \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495 \] - Количество способов выбрать 1 черный из 18: \[ C(18, 1) = \frac{18!}{1!(18-1)!} = 18 \] - Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 4) \times C(18, 1) = 495 \times 18 = 8910 \] - **Случай 3: 5 белых** - Количество способов выбрать 5 белых из 12: \[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = 792 \] - Как черных шаров в этом случае не выбираем, то общее количество способов для этого случая просто равно: \[ C(12, 5) = 792 \] 6. **Общее количество благоприятных исходов:** Сложим количество способов из всех трех случаев: \[ 33660 + 8910 + 792 = 43462 \] 7. **Общее количество способов выбрать 5 шаров:** Теперь подсчитаем \( C(30, 5) \): \[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = 142506 \] 8. **Вычислим вероятность:** Вероятность того, что среди выбранных 5 шаров не менее 3 белых: \[ P = \frac{43462}{142506} \approx 0.305 \] Таким образом, вероятность того, что среди 5 извлекаемых шаров не менее 3 белых, составляет примерно 0.305 или 30.5%.