В ящике 12 белых и 18 черных шаров. Произвольным образом извлекают 5 шаров. какова вероятность того, что среди этих шаров не менее трёх белых

Чтобы решить задачу о вероятности, начнем с определения всех необходимых шагов.

1. Определим общее количество шаров:

   • Всего белых шаров: 12
   • Всего черных шаров: 18
   • Общее количество шаров: 12 + 18 = 30

2. Событие, которое мы хотим рассмотреть:

   • Нам нужно найти вероятность того, что среди 5 извлеченных шаров будет не менее 3 белых. Это значит, что возможны следующие случаи:
     • 3 белых и 2 черных
     • 4 белых и 1 черный
     • 5 белых

3. Используем формулу вероятности: Вероятность события определяется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

4. Общее количество способов выбрать 5 шаров из 30: Это можно найти с помощью комбинаторики: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов. В нашем случае: \[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} \]

5. Считаем количество благоприятных исходов для каждого случая:

   • Случай 1: 3 белых и 2 черных

     • Количество способов выбрать 3 белых из 12: \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220 \]
     • Количество способов выбрать 2 черных из 18: \[ C(18, 2) = \frac{18!}{2!(18-2)!} = 153 \]
     • Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 3) \times C(18, 2) = 220 \times 153 = 33660 \]

   • Случай 2: 4 белых и 1 черный

     • Количество способов выбрать 4 белых из 12: \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495 \]
     • Количество способов выбрать 1 черный из 18: \[ C(18, 1) = \frac{18!}{1!(18-1)!} = 18 \]
     • Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 4) \times C(18, 1) = 495 \times 18 = 8910 \]

   • Случай 3: 5 белых

     • Количество способов выбрать 5 белых из 12: \[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = 792 \]
     • Как черных шаров в этом случае не выбираем, то общее количество способов для этого случая просто равно: \[ C(12, 5) = 792 \]

6. Общее количество благоприятных исходов: Сложим количество способов из всех трех случаев: \[ 33660 + 8910 + 792 = 43462 \]

7. Общее количество способов выбрать 5 шаров: Теперь подсчитаем \( C(30, 5) \): \[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = 142506 \]

8. Вычислим вероятность: Вероятность того, что среди выбранных 5 шаров не менее 3 белых: \[ P = \frac{43462}{142506} \approx 0.305 \]

Таким образом, вероятность того, что среди 5 извлекаемых шаров не менее 3 белых, составляет примерно 0.305 или 30.5%.